Page 12 - RMGO 5

12 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

- grupa 4: cele cu patru divizori: 15, 21, 27, 33, 35, 39, deci 6 numere;
- grupa 5: cele cu s , ase divizori: 45 deci un num˘ar.

Conform Principiului cutiei, rezult˘ c˘ oricum am alege nou˘ numere naturale
a
a
a
impare mai mici decˆat 50 exist˘a trei dintre ele care s˘a aib˘a acelas , i num˘ar de
divizori (deoarece ˆın caz contrar, adic˘a dac˘a nu am avea trei numere cu acelas , i
num˘ar de divizori, atunci am putea alege doar cel mult cˆate un num˘ar din grupele
a
1 s , i 5 s , i cel mult cˆate dou˘ numere din grupele 2, 3 s , i 4, deci ˆın total doar cel mult
8 numere!).
MGO 124. a) Exist˘a dou˘a numere naturale prime a c˘aror diferent ,˘a s˘a fie egal˘a
cu 6 s , i a c˘aror sum˘a s˘a fie un num˘ar de forma 2 4k+3 , k ∈ N?
b) Dar cu suma de forma 2 4k+2 , k ∈ N?

Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
Solut ,ie. Fie a s , i b numere naturale prime.
a) Avem a + b = 2 4k+3 s , i a − b = 6, deci 2a = 2 4k+3 + 6, de unde a = 2 4k+2 + 3.
Pentru k = 1 obt , inem solut , ia a = 67, b = 61.
b) Avem a + b = 2 4k+2 s , i a − b = 6, deci 2a = 2 4k+2 + 6, de unde a = 2 4k+1 + 3.
a
a
Astfel u(a) = 5 s , i cum a este prim rezult˘ c˘ a = 5. Dar atunci 5 − b = 6, fals.
6
6
3
3
MGO 125. a) Ar˘atat ,i c˘a numerele 3 + 6 s , i 3 · 6 + 1 sunt divizibile cu 7.
3
n
b) Fie n ∈ N. Demonstrat ,i c˘a 3 + n este divizibil cu 7 dac˘a s , i numai dac˘a
3
n
3 · n + 1 este divizibil cu 7.
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti
6
2
3
3
6
3
Solut ,ie. a) 3 + 6 = 729 + 216 = 945 = 7 · 135 s , i 3 · 6 + 1 = 27 (7 − 1) + 1 =
3
2
(28 − 1) (7 − 1) + 1 = (M7 + 1)(M7 − 1) + 1 = M7 − 1 + 1 = M7.
3
n
n
3
b) Evident, dac˘ n = M7 atunci 3 + n s , i 3 · n + 1 nu se divid cu 7.
a
3
Fie acum n 6= M7. Atunci n = M7 ± 1.
3

3
n
3
n
3

n
n
Pentru n = M7+1 avem 3 · n + 1 − 3 + n 3 = 3 ·n −3 − n − 1 =
3
n

3

3
3
n
3 n n − 1 − n − 1 = n − 1 (3 − 1) = M7, deci 3 · n + 1 este divizibil cu
3
n
7 dac˘ s , i numai dac˘ 3 + n este divizibil cu 7.
a
a
n
3
3
3

3

n
n
n
Pentru n = M7−1 avem 3 · n + 1 + 3 + n 3 = 3 ·n +3 + n + 1 =
n
3
3
3

n

3

3 n n + 1 + n + 1 = n + 1 (3 + 1) = M7, deci din nou 3 · n + 1 este
3
n
divizibil cu 7 dac˘ s , i numai dac˘ 3 + n este divizibil cu 7.
a
a