Page 11 - RMGO 5

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 11

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

Clasa a V-a

MGO 121. Determinat ,i numerele naturale abc cu a, b s , i c cifre distincte, astfel
2
ˆıncˆat abc = (2a + 2b + 2c) .
Aurel Dobos , an, Lugoj

Solut ,ie. P˘atratele perfecte pare de trei cifre sunt:

100, 144, 196, 256, 324, 400, 484, 576, 676, 784, 900.

Se elimin˘a cele care nu au cifrele distincte, iar dintre cele r˘amase, prin verificare,
se obt , ine abc = 324.

2
3
MGO 122. Fie s , irul de numere 1, 3, 3 , 3 , . . ..
a) Ar˘atat ,i c˘ num˘arul 2 2019 nu poate fi scris ca sum˘ de elemente diferite din
a
a
acest s , ir.
b) Dar num˘arul 2 2020 ?

Nicolae St˘aniloiu, Bocs , a

Solut ,ie. Orice sum˘a de termeni diferit , i ai s , irului dat este de forma M9, M9 + 1,
M9 + 3 sau M9 + 4.

3 673
a) Avem 2 2019 = (2 ) = (9 − 1) 673 = M9 − 1 = M9 + 8, ceea ce rezolv˘a
problema.
b) Avem 2 2020 = 2·2 2019 = 2(M9+8) = M9+16 = M9+7, deci nici num˘arul
2 2020 nu poate fi scris ca sum˘ de termeni diferit , i ai s , irului dat.
a
MGO 123. Ar˘atat ,i c˘ oricum s-ar alege nou˘ numere naturale impare mai mici
a
a
decˆat 50, exist˘a trei dintre ele care s˘a aib˘a acelas , i num˘ar de divizori.
* * *
ˆ
Solut ,ie. Imp˘art , im numerele naturale impare mai mici decˆat 50 ˆın grupe dup˘a
num˘arul lor de divizori astfel:

- grupa 1: cele cu un singur divizor: 1, deci un num˘ar;
- grupa 2: cele cu doi divizori, adic˘ numerele prime: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,
a
29, 31, 37, 41, 43, 47, deci 14 numere;
- grupa 3: cele cu trei divizori: 9, 25, 49, deci 3 numere;