Page 14 - RMGO 5

14 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

a
Oricare dou˘ semidrepte s i s , i t j , cu i ∈ {1, 2, . . . , m} s , i j ∈ {1, 2, . . . , n}, se inter-
secteaz˘a ˆıntr-un punct; acest punct ˆımpreun˘a cu punctele B s , i C determin˘a un
triunghi. Not˘am cu T mult ,imea tuturor acestor triunghiuri.

a) Determinat ,i cele mai mari valori posibile pentru numerele m s , i n.
b) Pentru m s , i n determinate la punctul a), calculat ,i probabilitatea ca alegˆand
la ˆıntˆamplare un triunghi din mult ,imea T , acesta s˘a fie isoscel sau dreptunghic.
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

◦
Solut ,ie. Evident, ^B = ^C = 80 .
◦
◦
◦
◦
◦
◦
a) Avem m · 5 < ^B s , i n · 3 < ^C, adic˘a m · 5 < 80 s , i n · 3 < 80 , deci
cele mai mari valori posibile pentru numerele m s , i n sunt m = 15 s , i n = 26.
b) Cum i ∈ {1, 2, . . . , 15} s , i j ∈ {1, 2, . . . , 26}, rezult˘a c˘a mult , imea T cont , ine
15 · 26 = 390 triunghiuri.
Triunghiul determinat de s i s , i b j cu BC este isoscel dac˘ s , i numai dac˘ 5i = 3j,
a
a
a
a
adic˘ j = 5k s , i i = 3k, adic˘ (i, j) ∈ {(3, 5), (6, 10), (9, 15), (12, 20), (15, 25)}.
a
Acelas , i triunghi este dreptunghic dac˘ s , i numai dac˘ 5i+3j = 90, adic˘ j = 5k
a
a
s , i i = 18 − 3k, adic˘ (i, j) ∈ {(15, 5), (12, 10), (9, 15), (6, 20), (3, 25)}.
a
Rezult˘a c˘a mult , imea T cont , ine 5 triunghiuri isoscele s , i tot 5 triunghiuri
dreptunghice, dintre care doar unul este s , i isoscel s , i dreptunghic. Astfel num˘arul
de triunghiuri isoscele sau dreptunghice din T este 5 + 5 − 1 = 9.
9 3
a
a
Obt , inem c˘ probabilitatea cerut˘ este P = = .
390 130
MGO 130. Se consider˘a un triunghi ABC cu AB = AC, E mijlocul laturii
BC s , i D un punct oarecare pe segmentul (AE). Fie DM ⊥ AB, M ∈ AB s , i
MN ⊥ AC, N ∈ AE. Demonstrat ,i c˘a punctul N este mijlocul segmentului (AD)
dac˘a s , i numai dac˘a 4ABC este echilateral.
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
Solut ,ie. Fie DQ ⊥ AC, Q ∈ AC. Din 4AMD ≡ 4AQD (cazul I.U.) rezult˘a c˘a
AM = AQ. Fie {P} = MN ∩ AC, deci NP ⊥ AC, deci NP k DQ.
Astfel avem echivalent , ele:

N este mijlocul segmentului (AD) ⇔ NP este linie mijlocie ˆın 4DAQ ⇔
AQ AM
◦
AP = ⇔ AP = ⇔ ^AMP = 30 (din 4APM dreptunghic ˆın P) ⇔
2 2
◦
^BAC = ^MAP = 60 ⇔ 4ABC este echilateral.