Page 8 - RMGO 5

8 Probleme propuse

Clasa a X-a

X 1
MGO 186. Fie x 1 , x 2 , . . . , x n > 0, n ∈ N, n ≥ 2 s , i m = . Ar˘atat , i c˘
a
x i x j
1≤i<j≤n
r
3
X 1 4 m n(n − 1)
≤ .
q 3 3 8
1≤i<j≤n x + x j
i
Cˆand are loc egalitatea?

Daniel Jinga, Pites , ti

MGO 187. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia

r
1
x
x
x
x
x
2
4 + 25 + 36 + 144 + 400 + − x = 1.
4
Sorin Ulmeanu, Pites , ti
MGO 188. Determinat , i numerele reale k pentru care inegalitatea
2
2
2
a + b + c + 12k ≥ (k + 1)(ab + bc + ca)
are loc pentru orice numere reale nenegative a, b s , i c astfel ˆıncˆat abc ≤ a+b+c+2.
Vasile Cˆırtoaje, Ploies , ti s , i Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin
MGO 189. Se consider˘ ecuat , ia
a

3x 3x 2 3x 4 1
x − − − = .
2
3
2
4
x + 3 x + 3x + 9 x + 3x + 18x + 54x + 81 602
a) Rezolvat , i ecuat , ia ˆın mult , imea numerelor reale.
a
a
b) Determinat , i o solut , ie complex˘ nereal˘ a ecuat , iei date.
Mih´aly Bencze, Bras , ov
MGO 190. Fie ABC un triunghi dreptunghic ˆın A. Determinat , i valorile naturale
ale tangentei unghiului B pentru care m a , l a s , i h a pot fi lungimile laturilor unui
triunghi.

Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava