Page 4 - RMGO 5

4 Probleme propuse

Clasa a VI-a

a
MGO 166. Ar˘atat , i c˘ num˘arul
A = 7 3n+2 + 7 3n+1 + 1
se divide cu 19, pentru orice num˘ar natural n.
Marin Chirciu, Pites , ti

a
MGO 167. Se consider˘ num˘arul
N = 123 . . . 9101112 . . . 99100101 . . . 99910001001 . . . 20202021.

a) Calculat , i restul ˆımp˘art , irii num˘arului N la 11.
b) Ar˘atat , i c˘ num˘arul N + 100 nu este p˘atrat perfect.
a
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

MGO 168. Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 2021 m s , i BC = 3 m.
Determinat , i cel mai mic num˘ar natural nenul n cu proprietatea c˘ oricum am
a
alege n puncte distincte pe latura [AB] s , i 2021 de puncte distincte pe latura [CD],
exist˘a trei dintre acestea care s˘a formeze un triunghi avˆand aria mai mic˘a sau
2
a
egal˘ cu 1 m .
* * *
MGO 169. Fie ABC un triunghi ˆın care AD este ˆın˘alt , ime, AM este median˘a,
D, M ∈ (BC), astfel ˆıncˆat simetricul punctului D fat , ˘a de dreapta AM este un
◦
punct E situat pe latura AC s , i m (^DME) = 120 . Fie N punctul de intersect , ie
a dreptelor AM s , i DE. Ar˘atat , i c˘a:
BD BC
a) = ;
DN AC
MN AM
b) = .
DN AC
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti
MGO 170. Se consider˘ un triunghi ABC astfel ˆıncˆat cercurile ˆınscrise ˆın triun-
a
ghiurile ADB s , i ADC sunt tangente, unde AD este bisectoarea unghiului BAC,
D ∈ (BC).
a) Stabilit , i natura triunghiului ABC.
b) Dac˘a I 1 este centrul cercului ˆınscris ˆın triunghiul ADB s , i E este punctul
de tangent , ˘a a laturii AB la acest cerc, aflat , i m˘asura unghiului ABC astfel ˆıncˆat
punctele E, I 1 s , i D s˘ fie coliniare.
a
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti