Page 27 - RMGO 5

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 27

Clasa a XI-a

MGO 151. Fie A, B, C ∈ M 2 (R) astfel ˆıncˆat AB +BC +CA = BA+CB +AC.
Demonstrat ,i c˘a
3 2
2
2
2

det A + B + C − AB − BC − CA ≥ [det(A − C) − det(B − C)] .
4
Daniel Jinga, Pites , ti
2
3
Solut ,ie. Fie ε ∈ C \ R a.ˆı. ε = 1, deci ε + ε + 1 = 0. Folosind s , i ipoteza, avem
2
2
2
2
2
2
(A+εB+ε C)(A+ε B+εC) = A +B +C +ε (AB+BC +CA)+ε(BA+CB+
2
2
2
2
2
2
2
AC) = A +B +C +(ε +ε)(AB +BC +CA) = A +B +C −AB −BC −CA.
2
2
2

Trecˆand la determinant , i avem det A + B + C − AB − BC − CA = det(A +
2
2
2
εB + ε C) · det(A + ε B + εC) = det(A + εB + (−1 − ε)C) · det(A + ε B +
2
2
2
(−ε − 1)C) = det(A − C − ε(C − B)) · det(A − C − ε (C − B)) = f(ε) · f(ε ),
2
unde f(x) = det(A − C − x(C − B)) = x det(C − B) + ax + det(A − C), unde
a ∈ R. Fie b = det(C − B) = det(B − C) ∈ R s , i c = det(A − C) ∈ R. Atunci
2
2
2
2
2
2
2
2
2
f(ε)·f(ε ) = (bε +aε+c)(bε+aε +c) = a +b +c +(ε+ε )(ab+bc+ca) = a +b +
b + c 2 3(c − b) 2 3(c − b) 2
2
2
2
2
c −ab−bc−ca = a −(b+c)a+b −bc+c = a − + ≥
2 4 4
a
s , i astfel rezult˘ inegalitatea din enunt , .
2
MGO 152. Fie A, B ∈ M n (C), unde n ∈ N, n ≥ 2, astfel ˆıncˆat A = O n ,
2
rang (A) = 1 s , i B = AB 6= O n .
a) Demonstrat ,i c˘a n > 2 s , i BA = O n .
b) Ar˘atat ,i c˘ pentru orice n > 2 exist˘ o infinitate de matrice cu propriet˘t ,ile
a
a
a
date.
Florin St˘anescu, G˘aes , ti
2
Solut ,ie. a) Din B 2 = AB rezult˘a AB 2 = A B = O n . Tot din B 2 = AB
3
3
2
rezult˘a B = AB = O n . Dac˘a n = 2, din B = O 2 rezult˘a det B = 0, deci
2
2
2
3
B = tr (B) · B, deci tr (B) · B = B = O 2 , de unde B = O 2 sau tr (B) = 0, care
2
2
a
implic˘ B = tr (B) · B = O 2 , deci B = O n , contradict , ie. Prin urmare n > 2.
2
3
Mai departe, relat , ia B = AB implic˘ B = BAB, deci BAB = O n . Din Inega-
a
litatea lui Frobenius avem rang (BA) + rang (AB) ≤ rang (A) + rang (BAB) = 1,
a
deci rang (BA) = 0 sau rang (AB) = 0. Cum AB 6= O n , obt , inem c˘ BA = O n .
∗
b) Pentru orice t ∈ C , matricele de ordin n ≥ 3
   
0 1 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0
 0 0 0 . . . 0   0 0 0 . . . t 
A =   s , i B =  
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
   
0 0 0 . . . . 0 0 0 0 . . . . 0
2
2
satisfac relat , iile A = O n , rang (A) = 1 s , i B = AB 6= O n .