Page 65 - RMGO 3

Teste pentru examenul de Bacalaureat, specializarea matematic˘a-informatic˘a 65

Testul 2

SUBIECTUL I

7

1. Determinat , i elementele mult , imii ∈ N .
k + 3
k ∈ Z
2
2. Fie x 1 s , i x 2 solut , iile ecuat , iei x + mx − 8 = 0, unde m ∈ R. Determinat , i
num˘arul real m pentru care x 1 (x 1 − 8) = x 2 (8 − x 2 ).
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale inecuat , ia 0,25 1+x ≤ 0,125 1−x .

4. Calculat , i probabilitatea ca, alegˆand un num˘ar n din mult , imea numerelor
2
naturale de dou˘a cifre, acesta s˘a verifice relat , ia A ≤ 90.
n
5. Se consider˘a p˘atratul ABCD s , i fie M, O s , i N mijloacele segmentelor [AB],
[AC], respectiv [OD]. Determinat , i numerele reale a s , i b pentru care are loc
−−→ −→ −−→
egalitatea MN = a AC + b BD.

6. Fie x ∈ R astfel ˆıncˆat 2 sin x = 3 cos x. Calculat , i tg 2x.

SUBIECTUL al II-lea

 
1 0 1 − x
1. Se consider˘a matricea A(x) =  0 2019 x−1 0  , unde x este num˘ar
0 0 1
real.
a) Calculat , i det (A(0) · A(3)).
b) Ar˘atat , i c˘a, pentru orice num˘ar real x, matricea A(x) este inversabil˘a s , i
inversa ei este matricea A(2 − x).
∗
c) Determinat , i perechile (x, n) ∈ R × N pentru care are loc egalitatea
n
A(x) = A(x).
2. Pe mult , imea numerelor ˆıntregi se defines , te legea de compozit , ie asociativ˘a

x ◦ y = 6(x + y) − 2xy − 15.

a) Demonstrat , i c˘a x ◦ y = 3 − 2(3 − x)(3 − y), pentru orice numere ˆıntregi
x s , i y.
b) Ar˘atat , i c˘a legea de compozit , ie ,,◦” nu admite element neutru.
c) Determinat , i num˘arul ˆıntreg m, s , tiind c˘a ecuat , ia x ◦ x ◦ x ◦ x = m are
solut , ie unic˘a ˆın Z.