Page 64 - RMGO 3

˘
˘
64 Costel BALCAU
b) Determinat , i valorile reale ale lui a pentru care sistemul este compatibil
determinat.
c) Determinat , i num˘arul real a pentru care sistemul are o solut , ie (x 0 , y 0 , z 0 )
cu proprietatea c˘a x 0 , y 0 s , i z 0 sunt,ˆın aceast˘a ordine, termeni consecutivi
ai unei progresii aritmetice.
3
2
2. Se consider˘a m, n ∈ Z s , i polinomul f = X −mX −X +n, avˆand r˘ad˘acinile
x 1 , x 2 , x 3 ∈ C.
a) Pentru m = n = 1, calculat , i restul ˆımp˘art , irii polinomului f la polinomul
X + 2.
b) Determinat , i num˘arul ˆıntreg m, pentru care are loc egalitatea
2
2
2
x + x + x = 2.
2
1
3
c) Pentru m = 0, determinat , i num˘arul ˆıntreg n pentru care r˘ad˘acinile x 1 ,
x 2 s , i x 3 sunt numere ˆıntregi.
SUBIECTUL al III-lea
2
x + 4x − 4
1. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = .
e x
(2 − x)(x + 4)
0
a) Ar˘atat , i c˘a f (x) = , x ∈ R.
e x
b) Demonstrat , i c˘a tangenta dus˘a prin punctul A(0, −4) la graficul funct , iei
1
f este perpendicular˘a pe dreapta de ecuat , ie y = − x + 2019.
8
c) Determinat , i m ∈ R pentru care ecuat , ia f(x) = m are exact trei solut , ii
reale.
√
2. Se consider˘a funct , ia f : [0, +∞) → R, f(x) = arctg x.
a) Demonstrat , i c˘a orice primitiv˘a a funct , iei f este convex˘a pe intervalul
(0, +∞).
Z 1 f(x)
b) Calculat , i 2 dx.
0 1 + x
c) Determinat , i num˘arul real pozitiv a, s , tiind c˘a volumul corpului obt , inut
prin rotat , ia ˆın jurul axei Ox a graficului funct , iei g : [0, a] → R,
√
π(π 3 − ln 8)
g(x) = f(x) este egal cu .
3