Page 69 - RMGO 3

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 69

([x] reprezint˘a partea ˆıntreag˘a a num˘arului rat , ional x), deci avem
n n n n n
h i h i h i h i h i
+ + + + = 2018.
5 25 125 625 3125

Fie n = abcdef (5) scrierea lui n ˆın baza 5. Obt , inem a + (5a + b) + (25a +
5b + c) + (125a + 25b + 5c + d) + (625a + 125b + 25c + 5d + e) = 2018, adic˘a
781a + 156b + 31c + 6d + e = 2018. Cum a, b, c, d, e, f sunt cifre ˆın baza 5,
iar 2018 : 781 = 2 rest 456, 456 : 156 = 2 rest 144, 144 : 31 = 4 rest 20,
20 : 6 = 3 rest 2, rezult˘a c˘a a = 2, b = 2, c = 4, d = 3 s , i e = 2. Astfel
n = 3125 · 2 + 625 · 2 + 125 · 4 + 25 · 3 + 5 · 2 + f = 8085 + f, cu 0 ≤ f ≤ 4, deci
numerele cu proprietatea dat˘a sunt 8085, 8086, 8087, 8088 s , i 8089,

MGO 43. Ar˘atat ,i c˘a num˘arul A = 10 n+2 + 11 2n+1 se divide cu 37, pentru orice
n ∈ N.

Florea Badea, Scornices , ti

n
n
n
n
n
Solut ,ie. Avem A = 100 · 10 + 11 · 121 = 111 · 10 + 11 (121 − 10 ) = M111 +
11 · M(121 − 10) = M111 = M(37 · 3) = M37.
MGO 44. Cˆate numere naturale de forma acbabc, scrise ˆın baza 10, sunt divizibile
cu 7?
Florea Badea, Scornices , ti s , i Costel Anghel, Slatina

Solut ,ie. Deoarece A = acbabc = 100100a + 1010b + 10001c = M7 + 5b + 2c =
M7 + 2(7 + c − b), rezult˘a c˘a A se divide cu 7 dac˘a 7 + c − b se divide cu 7, adic˘a
pentru urm˘atoarele perechi (b, c): (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6),
(7, 7), (8, 8), (9, 9), (0, 7), (7, 0), (1, 8), (8, 1), (2, 9), (9, 2). Pentru fiecare dintre
cele 16 astfel de perechi (b, c), a poate fi oricare dintre cele 9 cifre nenule, deci
num˘arul de numere A divizibile cu 7 este egal cu 16 · 9 = 144.

MGO 45. Num˘arul ab scris ˆın baza 10 se numes , te special dac˘a restul s , i cˆatul
ˆımp˘art ,irii lui a prin b sunt numere naturale nenule egale. Cˆate numere speciale
exist˘a?

Adrian T , urcanu, Pites , ti

Solut ,ie. Num˘arul ab este special dac˘a a : b = c rest c, cu 0 < c < b, adic˘a dac˘a
a = bc + c = c(b + 1) cu c ≥ 1 s , i b ≥ c + 1. Pentru c = 1 rezult˘a c˘a a = b + 1 cu
b ≥ 2, deci obt , inem numerele speciale 32, 43, 54, 65, 76, 87, 98. Pentru c = 2
rezult˘a c˘a a = 2(b + 1) cu b ≥ 3, deci obt , inem num˘arul special 83. Pentru c ≥ 3
ˆ
rezult˘a c˘a b ≥ 4, deci a ≥ 15, fals. In concluzie, avem 8 numere speciale.