Page 73 - RMGO 3

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 73

Solut ,ie. Fie AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = d 1 , BD = d 2 s , i fie
AC ∩ BD = {O}. Conform Inegalit˘at ,ii triunghiului avem d 1 < a + b s , i d 1 < c + d,
2
deci 2d 1 < a + b + c + d, de unde rezult˘a c˘a 2d < d 1 (a + b + c + d). Analog, avem
1
2
2
2
2d < d 2 (a + b + c + d). Prin adunare obt , inem 2(d + d ) < (a + b + c + d)(d 1 + d 2 ),
2 1 2
2
d + d 2 2 a + b + c + d
1
prin urmare < .
d 1 + d 2 2
Tot conform Inegalit˘at ,ii triunghiului avem a < OA + OB, b < OB + OC,
c < OC + OD s , i d < OD + OA, de unde prin adunare obt , inem a + b + c + d <
2
a + b + c + d d 1 + d 2 d 1 + d 2 d + d 2
2(d 1 + d 2 ), deci < . Cum ≤ 1 2 (inegalitatea
4 2 2 d 1 + d 2
2
2
2
2
fiind echivalent˘a cu (d 1 + d 2 ) ≤ 2(d + d ), adic˘a cu (d 1 − d 2 ) ≥ 0), rezult˘a c˘a
1 2
2
a + b + c + d d + d 2 2
1
< .
4 d 1 + d 2
MGO 54. Fie ABC un triunghi circumscris unui cerc C de centru I. Cercul C
este tangent laturilor BC, CA, AB ˆın punctele D, E, respectiv F s , i intersecteaz˘a
segmentele [AI], [BI], [CI] ˆın punctele M, N, respectiv P. Ar˘at˘at ,i c˘a triunghiurile
DEF s , i MNP au acelas , i centru de greutate dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul ABC
este echilateral.
Marin Ionescu, Pites , ti
Solut ,ie. Dac˘a triunghiul ABC este echilateral, atunci triunghiurile DIE, EIF,
FID, MIN, NIP s , i PIM sunt congruente (cazul L.U.L.), deci triunghiurile DEF
s , i MNP sunt echilaterale s , i au centrul I.
Reciproc, s˘a consider˘am c˘a triunghiurile DEF s , i MNP au acelas , i centru de
greutate G. Cum ele au s , i acelas , i centru I al cercului circumscris, utilizˆand dreapta
lui Euler rezult˘a c˘a ele au s , i acelas , i ortocentru, s , i anume punctul H ∈ [IG cu
IH = 3IG. Deoarece 4AEI ≡ 4AFI (cazul I.U.) rezult˘a c˘a ^AIE ≡ ^AIF,
_ _
prin urmare m(ME) = m(MF), de unde obt , inem ^MDE ≡ ^MDF. Analog,
_ _ _ _
avem m(ND) = m(NF) s , i m(PE) = m(PD), deci, notˆand MD ∩ NP = {Q},
rezult˘a c˘a
_ _ _
m(ME) + m(PE) + m(ND) 180 ◦ ◦
m(^MQP) = = = 90 ,
2 2
adic˘a MD ⊥ NP. Deducem c˘a bisectoarele triunghiului DEF coincid cu ˆın˘alt , imile
triunghiului MNP, deci centrul cercului ˆınscris ˆın triunghiul DEF coincide cu
ortocentrul H al triunghiului MNP. Dar H este s , i ortocentru pentru triunghiul
DEF, deci acest triunghi este echilateral (s , i H = I). Atunci m(^DIE) =
◦
◦
◦
m(^EIF) = m(^FID) = 120 , deci m(^A) = m(^B) = m(^C) = 180 −120 =
◦
60 , adic˘a triunghiul ABC este echilateral.