Page 68 - RMGO 3

68 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

PROBLEME PENTRU CONCURSURI

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

Clasa a V-a

MGO 41. Numerele naturale nenule sunt afis , ate ˆın p˘atr˘at ,elele unei tabele electro-
nice astfel ˆıncˆat s˘a se formeze repetat Num˘arul Marii Uniri, adic˘a 19181918 . . . , ca
mai jos. Tabela are cinci linii, numerotate de sus ˆın jos cu 1, 2, . . . , 5, iar coloanele
sale sunt numerotate de la stˆanga la dreapta cu 1, 2, . . . .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . .
1 2 7 11 14 20 25 30 33 39

2 1 3 8 15 19 21 26 34 38 40

3 4 9 12 16 22 27 31 35 41
4 5 17 23 28 36 42

5 6 10 13 18 24 29 32 37 43

Pe ce linie s , i pe ce coloan˘a se afl˘a Num˘arul Centenarului, 2018 ?

Costel Anghel, Slatina
Solut ,ie. Num˘arul 1918 este afis , at repetat pe cˆate 37 de p˘atr˘at , ele ale tabelei, ce
formeaz˘a 10 coloane. Avem 2018 : 37 = 54 rest 20, deci pˆan˘a la afis , area num˘arului
2018 sunt afis , ate 54 de numere 1918, pe 54 · 10 = 540 de coloane, iar ˆın al 55-lea
num˘ar 1918 p˘atr˘at , elul 2018 este al 20-lea, deci este situat pe linia 1 s , i coloana
540 + 7 = 547 ale tabelei.

MGO 42. Determinat ,i numerele naturale nenule n pentru care num˘arul 1·2·3·. . .·n
se termin˘a ˆın exact 2018 zerouri.

Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
Solut ,ie. Num˘arul de zerouri ˆın care se termin˘a num˘arul 1 · 2 · 3 · . . . · n este egal cu
puterea lui 5 din descompunerea ˆın factori primi a acestui produs (puterea lui 2
din aceast˘a descompunere fiind mai mare sau egal˘a cu puterea lui 5), adic˘a cu
n n n
h i h i h i
+ + + . . .
5 5 2 5 3