Page 70 - RMGO 3

70 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

Clasa a VI-a

MGO 46. Calculat ,i suma ultimelor 503 cifre ale num˘arului N = 1·2·3·. . .·2018.

Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

Solut ,ie. Utiliz˘am notat , ia 1 · 2 · 3 · . . . · n = n! (n factorial). Num˘arul de zerouri ˆın
care se termin˘a num˘arul N = 1 · 2 · 3 · . . . · 2018 = 2018! este egal cu puterea lui
5 din descompunerea ˆın factori primi a acestui produs, deci cu suma numerelor

2018 403 80 16
= 403, = 80, = 16, = 3 ([x] reprezint˘a partea ˆıntreag˘a a
5 5 5 5
num˘arului rat , ional x), adic˘a cu 403+80+16+3 = 502. Rezult˘a c˘a suma ultimelor
503 cifre ale num˘arului N = 2018! este egal˘a cu ultima cifra nenul˘a a sa, pe care o
vom nota cu c(N). Grupˆand factorii 10 cˆate 10 s , i descompunˆand multiplii lui 5
sub forma 5 · k avem 2018! = (1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 1 · 6 · 7 · 8 · 9 · 5 · 2)(11 · 12 · 13 · 14 · 5 ·
3 · 16 · 17 · 18 · 19 · 5 · 4) · . . . · (2011 · 2012 · 2013 · 2014 · 5 · 403 · 2016 · 2017 · 2018),
deci 2018! = 5 403 · 403! · (1 · 2 · 3 · 4 · 6 · 7 · 8 · 9)(11 · 12 · 13 · 14 · 16 · 17 · 18 · 19) ·
. . . · (2011 · 2012 · 2013 · 2014 · 2016 · 2017 · 2018). Scriind 5 403 = 10 403 : 2 403 s , i
observˆand c˘a produsul din ultima parantez˘a are ultima cifr˘a 4, iar produsele din
celelalte paranteze au ultima cifr˘a 6, rezult˘a c˘a

c(2018!) = c c(403!) · (M10 + 4) : 2 403 .

Analog, c(403!) = c c(80!) · (M10 + 6) : 2 80 , c(80!) = c c(16!) · (M10 + 6) : 2 16 ,

3
c(16!) = c c(3!) · (M10 + 4) : 2 . Dar c(3!) = 6, de unde rezult˘a c˘a c(16!) =
c (6 · (M10 + 4) : 8) = 8 (num˘arul 6 · (M10 + 4) : 8 fiind par), prin urmare avem
c(80!) = c (8 · (M10 + 6) : 6) = 8 (2 16 avˆand ultima cifr˘a 6 iar num˘arul c(16!) ·
(M10+6) : 2 16 fiind par) s , i, analog, obt , inem c˘a c(403!) = c (8 · (M10 + 6) : 6) = 8,
c(2018!) = c (8 · (M10 + 4) : 8) = 4.

MGO 47. Fie ABC un triunghi cu AB 6= AC. Determinat ,i pozit ,ia punctului P
|AB − AC|
situat pe bisectoarea unghiului BAC pentru care PG = , unde G este
3
centrul de greutate al triunghiului BCP.

Florea Badea, Scornices , ti s , i Costel Anghel, Slatina
Solut ,ie. Fie P 1 s , i P 2 picioarele perpendicularelor duse din B, respectiv C pe bisec-
toarea unghiului BAC. Avem P 1 6= P 2 , deoarece ˆın caz contrar AP 1 ar fi bisectoare
s , i ˆın˘alt , ime ˆın triunghiul ABC s , i ar rezulta c˘a AB = AC, fals. Demonstr˘am c˘a
P = P 1 s , i P = P 2 sunt singurele solut , ii ale problemei. Fie M mijlocul laturii BC.
0
0
Dac˘a BP 1 ∩ AC = {B }, atunci triunghiul BAB este isoscel (deoarece AP 1 este
0
bisectoare s , i ˆın˘alt , ime), deci AB = AB. Fie G 1 centrul de greutate al triunghiului
0
BCP 1 . Folosind s , i faptul c˘a P 1 M este linie mijlocie ˆın triunghiul B BC, avem