Page 74 - RMGO 3

74 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

n(n + 1)
MGO 55. Fie numerele reale a 1 , a 2 , . . . , a n avˆand suma egal˘a cu . Dac˘a
2
p p p
2
2
2
2
2
2
(a 1 + 1) + (a 2 + 2) + (a 2 + 2) + (a 3 + 3) +. . .+ (a n + n) + (a 1 + 1) ≤
√ 3 n + 1
n(n + 1) 2, s˘a se arate c˘a a 1 − 1 + 2 a 2 − + . . . + n a n − = 0.
2 2
Sorin Ulmeanu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
Solut ,ie. Not˘am cu E expresia din membrul stˆang al inegalit˘at , ii din ipotez˘a.
r 2 2
x + y x + y
Utilizˆand Inegalitatea mediilor, ≥ , pentru orice x, y ∈ R, cu
2 2
1 1
egalitate dac˘a s , i numai dac˘a x = y, rezult˘a c˘a √ · E ≥ (a 1 + 1) + (a 2 +
2 2 √

2) + (a 2 + 2) + (a 3 + 3) + . . . + (a n + n) + (a 1 + 1) , deci E ≥ 2(a 1 + a 2 +
√ n(n + 1) n(n + 1) √
. . . + a n + 1 + 2 + . . . + n) = 2 + = n(n + 1) 2. Dar,
2 2
√ √
conform ipotezei, avem s , i E ≤ n(n + 1) 2. Rezult˘a c˘a E = n(n + 1) 2, adic˘a
inegalit˘at , ile anterioare devin egalit˘at , i. Deducem c˘a a 1 + 1 = a 2 + 2 = a 3 +
3 = . . . = a n + n. Rezult˘a c˘a a 1 + 1 = a 2 + 2 = a 3 + 3 = . . . = a n + n =
1
(a 1 + 1 + a 2 + 2 + a 3 + 3 + . . . + a n + n) = n + 1, deci a 1 = n, a 2 = n − 1,
n
a 3 = n − 2, . . . , a n = 1, adic˘a a k = n + 1 − k, ∀k ∈ {1, 2, . . . , n}. Prin urmare,
2
k + 1 k + 1 (2n + 1)k − 3k
avem k a k − = k n + 1 − k − = , deci a 1 − 1 +
2 2 2
2 2
3 n + 1 (2n + 1) − 3 · 1 (2n + 1) · 2 − 3 · 2
2 a 2 − +. . .+n a n − = + +. . .+
2 2 2 2
2 2 2
2
(2n + 1)n − 3n (2n + 1) 1 + 2 + . . . + n − 3 1 + 2 + . . . + n 2n + 1
= = ·
2 2 2
n(n + 1) 3 n(n + 1)(2n + 1)
− · = 0.
2 2 6
Clasa a VIII-a

MGO 56. Fie V ABCD s , i V AEF dou˘a piramide regulate de vˆarf V astfel ˆıncˆat
ˆın˘alt ,imile lor sunt congruente s , i EFkBD. Calculat ,i raportul dintre volumele celor
dou˘a piramide.
Florea Badea, Scornices , ti s , i Costel Anghel, Slatina

0
Solut ,ie. Not˘am centrele bazelor piramidelor V ABCD s , i V AEF cu O, respectiv O .
0
0
Demonstr˘am c˘a AO = AO . Egalitatea fiind evident˘a pentru O = O , consider˘am
0
0
0
cazul O 6= O . Avem (V AO ) ⊥ EF s , i EFkBD, deci (V AO ) ⊥ BD. Dar s , i
0
0
(V AO) ⊥ BD, deci (V AO ) = (V AO), adic˘a punctele V, A, O, O sunt coplanare.
0
0
0
0
Triunghiul OV O fiind isoscel, avem ^V OO ≡ ^V O O. Cum s , i ^V OA ≡ ^V O A