Page 79 - RMGO 3

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 79

0
a − c a − c 0 b − c
0
0
0
Dar, deoarece 4ABC ∼ 4A B C , rezult˘a c˘a = = α s , i =
2p 2p 0 2p
0
b − c 0 −−→ −−→ −−→
~
0
0
0
= β, deci din (2) s , i (3) obt , inem c˘a αAA + βBB = 0. Cum vectorii AA s , i
2p 0
−−→ −−→ −−→ −−→
0
0
0
0
BB nu sunt coliniari (ˆın caz contrar, din (1) ar rezulta c˘a AA , BB s , i CC ar
fi tot , i coliniari, contradict , ie cu ipoteza), rezult˘a c˘a α = β = 0, deci a = b = c s , i
0
0
0
0
0
0
a = b = c , adic˘a triunghiurile ABC s , i A B C sunt echilaterale.
MGO 64. S˘a se determine numerele reale x, y, z, t, u, v cu proprietatea c˘a
11 11
2
2
2
2
2
2
2
2
x + y + z + t + u + v = x + y + z + y + z + t + z + t +
12 12

11 2 2 2 11 2 2 2 11 2 2 2 11
2
+u + t + u + v + u + v + x + v + x + y + .
12 12 12 12
Daniel Jinga s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
Solut ,ie (Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin). Not˘am cu S s , i E
expresiile din membrul stˆang, respectiv drept al egalit˘at , ii din enunt , . Aplicˆand

11
2
2
2
2
2
2
Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz avem x +y +z + t +u +v +
12

11 1 1 1 5 1 1 1 5
2
2
2
2
2
2
= x + y + z + + + + + + + t + u + v + ≥
12 36 36 36 6 36 36 36 6
2 6
S + 5 S + 5
. Procedˆand analog, deducem c˘a E ≥ . Dar S = E > 0, deci
6 6
6 6
S + 5 S − 1
utilizˆand Inegalitatea lui Bernoulli avem E ≥ = 1 + ≥ S.
6 6
Cum E = S, rezult˘a c˘a toate inegalit˘at , ile anterioare devin egalit˘at , i, deci S = 1 s , i
1 1 1
6x = 6y = 6z = = = = 1 (s , i analoagele), adic˘a x = y = z = t = u =
6t 6u 6v
1
v = .
6
MGO 65. Determinat ,i funct ,iile f : N → N cu proprietatea c˘a
2
2
f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy(2x + 3xy + 2y ), ∀x, y ∈ N.
Sorin Ulmeanu, Pites , ti
4
u
4
4
Solut ,ie. Funct , ia f 0 (n) = n verific˘a proprietatea dat˘a, deoarece (x+y) = x +y +
2
2
4
2xy(2x +3xy +2y ), ∀x, y ∈ N. Fie funct , ia g : N → Z, g(n) = f(n)−n , ∀n ∈ N.
Atunci egalitatea din enunt , devine g(x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ N s , i se arat˘a
prin induct , ie dup˘a n ∈ N c˘a g(n) = ng(1), ∀n ∈ N. Notˆand g(1) = k, rezult˘a c˘a
4
f(n) = n + kn, ∀n ∈ N, cu k ∈ N (deoarece f(0) = k). Evident, orice funct , ie de
aceast˘a form˘a verific˘a proprietatea dat˘a.