Page 83 - RMGO 3

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 83

Solut ,ie. Dac˘a a = 0, atunci din a treia ecuat , ie rezult˘a c = 0, iar din a doua ecuat , ie
rezult˘a b = 0, deci obt , inem solut , ia a = b = c = 0. Fie a 6= 0, deci s , i b 6= 0,

 (a − b)(a + b) = b(b − c)
c 6= 0. Sistemul poate fi rescris sub forma (b − c)(b + c) = c(c − a) , (1).
(c − a)(c + a) = a(a − b)

Dac˘a a = b, atunci din prima ecuat , ie rezult˘a b = c, deci a = b = c, care este
solut , ie. Aceeas , i solut , ie se obt , ine s , i dac˘a b = c sau c = a. Fie acum a 6= b 6= c 6= a,
2
2
2
a, b, c 6= 0. Adunˆand ecuat , iile sistemului init , ial avem a + b + c = ab + bc + ca.
2
Aceast˘a egalitate poate fi rescris˘a sub forma (a − b) = (b − c)(c − a), deci
3
3
|a−b| = |a−b|·|b−c|·|c−a|. Analog se obt , ine c˘a |b−c| = |a−b|·|b−c|·|c−a|
3
s , i |c − a| = |a − b| · |b − c| · |c − a|, deci |a − b| = |b − c| = |c − a|. Atunci din
(1) rezult˘a c˘a |a + b| = |b|, |b + c| = |c| s , i |c + a| = |a|. Utilizˆand identitatea
2
2
2
2
2
2
2
|a+b| +|b+c| +|c+a| = |a+b+c| +|a| +|b| +|c| , rezult˘a c˘a a+b+c = 0. Atunci

 −c(a − b) = b(b − c)
(1) devine −a(b − c) = c(c − a) , deci prin ˆınmult , ire obt , inem c˘a −abc = abc,
−b(c − a) = a(a − b)

ˆ
adic˘a abc = 0, fals. In concluzie, sistemul dat are solut , iile (α, α, α), cu α ∈ C.
Clasa a XI-a
1 π
MGO 71. Se consider˘a un triunghi ABC astfel ˆıncˆat arccos √ ≤ A, B, C ≤ .
3 2
1 1 1 12
Demonstrat ,i c˘a + + ≥ .
2
2
2
1 + cos A 1 + cos B 1 + cos C 5
Cˆand are loc egalitatea?
Leonard Mihai Giugiuc, Romˆania s , i Michael Rozenberg, Israel
1
Solut ,ie. Notˆand 2A = u, 2B = v s , i 2C = w avem π − arccos ≤ u, v, w ≤ π,
3
u + v + w = 2π ¸si inegalitatea se rescrie ca
1 1 1 6
+ + ≥ .
3 + cos u 3 + cos v 3 + cos w 5
Vom utiliza urm˘atorul rezultat ce extinde Inegalitatea lui Jensen:

Teorema funct , iilor semi-convexe (Vasile Cˆırtoaje, 2004) (Teorema de
la pag. 3 din Mathematical inequalities, Volumul 4: Extensions and refine-
ments of Jensen’s inequality, Editura Universit˘at , ii Petrol-Gaze din Ploies , ti, 2018;
http://ac.upg-ploiesti.ro/vcirtoaje/MI_VOLUME4.pdf) Fie I ⊆ R un interval, s
un punct interior al lui I s , i f : I → R o funct , ie convex˘a pe I ∩ (−∞, s] sau pe I ∩

a 1 + a 2 + . . . + a n
[s, +∞). Atunci inegalitatea f(a 1 )+f(a 2 )+. . .+f(a n ) ≥ nf
n