Page 86 - RMGO 3

86 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

2
2
2
din a doua relat , ie din enunt , obt , inem 2tr (AB) = tr (AB A) + tr (BA B), adic˘a
2
2
2
tr (AB) = tr (A B ). Astfel det(AB − BA) = 0. Conform Teoremei Hamilton-
2
2
2
Cayley pentru X = AB − BA obt , inem (AB − BA) = O 2 , deci (AB) − (AB A +
2
2
2
2
2
2
2
BA B)+(BA) = O 2 . Cum AB A+BA B = 2(AB) , rezult˘a c˘a (AB) = (BA) ,
de unde utilizˆand din nou Teorema Hamilton-Cayley avem tr (AB) · (AB) −
det(AB) · I 2 = tr (BA) · (BA) − det(BA) · I 2 , deci tr (AB)(AB − BA) = O 2 . Cum
tr (AB) 6= 0 rezult˘a c˘a AB = BA.
Dac˘a se renunt , ˘a la ipoteza tr (AB) 6= 0, egalitatea AB = BA nu este neap˘arat

1 0 0 1
2
adev˘arat˘a. De exemplu, pentru A = s , i B = avem B = O 2 ,
0 0 0 0
2 2 2
AB = B, BA = O 2 , deci 2 (AB) = AB A+BA B = O 2 s , i AB 6= BA.
Clasa a XII-a
MGO 76. Determinat ,i corpurile finite K cu proprietatea c˘a exist˘a x, y ∈ K astfel
ˆıncˆat (x + y) −1 = x −1 + y −1 .
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
Solut ,ie. Conform Teoremei lui Wedderbrun, orice corp finit este comutativ. De
n
asemenea, se cunoas , te c˘a orice corp finit K are p elemente, unde p este carac-
teristica lui K s , i este un num˘ar prim, iar n este un num˘ar natural nenul. Fie
2
(x + y) −1 = x −1 + y −1 . Prin ˆınmult , ire cu xy(x + y) obt , inem xy = (x + y) , adic˘a
2
2
2
x +xy+y = 0. Cazul 1. x = y. Atunci 3x = 0, deci 3 = 0, adic˘a p = 3. Reciproc,
n
ˆın orice corp K cu 3 elemente, n ≥ 1, avem 3 = 0, deci (1 + 1) −1 = 1 −1 + 1 −1 .
2
3
3
2
3
3
Cazul 2. x 6= y. Atunci x − y = (x − y)(x + xy + y ) = 0, deci x = y ,
n
adic˘a xy −1 3 = 1. Conform Teoremei lui Lagrange rezult˘a c˘a p − 1 = M3, deci
p = M3 + 1, n arbitrar sau p = M3 + 2, n par. Reciproc, pentru orice corp K
n
cu p elemente cu p num˘ar prim de forma M3 + 1 s , i n ≥ 1 sau p num˘ar prim de
n
forma M3 + 2 s , i n ≥ 2 num˘ar par, avem p − 1 = M3, deci conform Teoremei
2
3
lui Cauchy exist˘a x ∈ K \ {0, 1} astfel ˆıncˆat x = 1, deci x + x + 1 = 0, adic˘a
2
x = (x + 1) s , i prin ˆınmult , ire cu x −1 (x + 1) −1 obt , inem (x + 1) −1 = x −1 + 1 −1 .
MGO 77. Determinat ,i valoarea minim˘a k ∈ N \ {2018} cu proprietatea c˘a exist˘a
un polinom f ∈ Z[X] s , i nis , te numere ˆıntregi m 1 , m 2 , . . . , m 2018 distincte dou˘a cˆate
dou˘a astfel ˆıncˆat f(m i ) = 2018 pentru orice i ∈ {1, 2, . . . , 2017} s , i f(m 2018 ) = k.
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
Solut ,ie. Fie f un polinom cu proprietatea din enunt , s , i fie g(x) = f(x) − 2018.
Atunci g(x) = (x − m 1 )(x − m 2 ) · . . . · (x − m 2017 )h(x), cu h ∈ Z[X]. Deoarece
g(m 2018 ) = f(m 2018 ) − 2018 = k − 2018, obt , inem
k = 2018 + (m 2018 − m 1 )(m 2018 − m 2 ) · . . . · (m 2018 − m 2017 )h(m 2018 ),