Page 88 - RMGO 3

88 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

!
p p
2
2α + 3β − 4α − 4αβ + 9β 2 2α + 3β + 4α − 4αβ + 9β 2
2
δ < sau δ ∈ , α .
8 8
p
2
2α + 3β − 4α − 4αβ + 9β 2 3 (2α + β)
Dar δ < β, deci δ < . Cum y 1 +y 2 +y 3 = ,
8 4

p
2
3 2α + 3β − 4α − 4αβ + 9β 2
3 (2α + β)
ar rezulta c˘a < , fals.
4 8
Observ˘am c˘a egalitatea are loc pentru (α, α, β, 0) s , i permut˘arile sale. Mai mult,
se poate ar˘ata c˘a acestea sunt singurele configurat , ii pentru care abc + abd + acd +
2
bcd = α β.
∗
MGO 80. Fie α, β ∈ R, n ∈ N s , i funct ,ia f : (0, ∞) → R, f(x) = α ln x −
n
2
x − 1 Z a x + 1
β · . Calculat ,i 1 · f(x) dx, unde a > 0 este fixat.
n
x + 1 x 2
a
Daniel Jinga, Pites , ti
n
1 1 1 − x
Solut ,ie. Avem f = α ln − β · = −f(x), pentru orice x > 0. Cu
x x 1 + x n
Z a 2
1 x + 1
schimbarea de variabil˘a x = , integrala din enunt , devine I = 1 ·f(x) dx =
t x 2
a
1 1
Z + 1 Z a 2 Z a 2
a t 2 · f 1 · − 1 dt = t + 1 · f 1 dt = − t + 1 · f(t) dt =
1 t t 2 1 t 2 t 1 t 2
a
t 2 a a
−I, deci I = 0.