Page 85 - RMGO 3

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 85

∗ k+1
absurd c˘a rang A k+1 = n − 2 am avea (A ) = A k+1 ∗ = O n , fals. Prin
urmare rang A k+1 = n − 1. Conform principiului induct , iei matematice, obt , inem
rang A k = n − 1, pentru orice k ≥ 2 s , i astfel rang A k = n − 1 = rang (A).

MGO 73. Fie a, b ∈ R, a < b s , i f : [a, b] → [a, b] o funct ,ie derivabil˘a cu
f(a) = b s , i f(b) = a. Ar˘atat ,i c˘a exist˘a c 1 , c 2 ∈ (a, b), c 1 6= c 2 , astfel ˆıncˆat
0
0
f (c 1 ) + f (c 2 ) = −2.
Daniel Jinga, Pites , ti

a + b
Solut ,ie. Aplicˆand Teorema lui Lagrange funct , iei f pe intervalele a, s , i
2

a + b a + b a + b
, b rezult˘a c˘a exist˘a c 1 ∈ a, s , i c 2 ∈ , b astfel ˆıncˆat
2 2 2

a + b a + b
f − b a − f
0
0
f (c 1 ) = 2 s , i f (c 2 ) = 2 . Astfel avem c 1 6= c 2 s , i
a + b a + b
− a b −
2 2
a − b
0
0
f (c 1 ) + f (c 2 ) = = −2.
b − a
2
MGO 74. Fie (x n ) n≥1 un s , ir cresc˘ator astfel ˆıncˆat x 2 = n pentru orice n ≥ 1.
n
x n
Ar˘atat ,i c˘a √ tinde c˘atre 1.
n
Cristinel Mortici, Tˆargovis , te
Solut ,ie (Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin). Pentru orice n ∈
√ √ √ √ 2 √ 2
N, n ≥ 1 avem, succesiv: [ n] ≤ n < [ n] + 1; [ n] ≤ n < ([ n] + 1) ;
√
√
√ √ [ n] x n [ n] + 1
x √ 2 ≤ x n ≤ x √ 2; [ n] ≤ x n ≤ [ n] + 1; √ ≤ √ ≤ √ ;
√
√ [ n] ([ n]+1) n n n
n − 1 x n n + 1 x n
√ < √ ≤ √ . Aplicˆand Criteriul cles , telui rezult˘a c˘a lim √ = 1.
n n n n→∞ n
MGO 75. Ar˘atat ,i c˘a dac˘a matricele A, B ∈ M 2 (C) verific˘a relat ,iile tr (AB) 6= 0
2
2
2
s , i AB A + BA B = 2(AB) , atunci AB = BA.
R˘amˆane concluzia adev˘arat˘a dac˘a se renunt ,˘a la ipoteza tr (AB) 6= 0?
Florin St˘anescu, G˘aes , ti
Solut ,ie. Conform Teoremei Hamilton-Cayley, pentru orice matrice X ∈ M 2 (C)
2
2
2
avem X −tr X ·X +det X ·I 2 = O 2 . Rezult˘a c˘a tr X −(tr X) +2 det X = 0, prin
2
(tr X) − tr X 2
urmare det X = . Luˆand X = AB − BA s , i utilizˆand egalitatea
2
2
[tr (AB − BA)] − tr (AB − BA) 2
tr (AB) = tr (BA), avem det (AB − BA) = =
2
2
2
2
tr (AB) − tr (AB A) − tr (BA B) + tr (BA) 2
2
2
2
− = tr (A B ) − tr (AB) . Dar
2