Page 90 - RMGO 3

90 Probleme propuse

MGO 87. a) Determinat , i ultimele cinci cifre ale num˘arului 7 2019 , atunci cˆand
este scris ˆın sistemul binar.

b) Aceeas , i cerint , ˘a pentru num˘arul N = 1 2019 + 2 2019 + . . . · +2019 2019 .
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

∗
MGO 88. Se consider˘a numerele a, b, c, d ∈ Q astfel ˆıncˆat
a 3b 4c 5d
= = = 6= −1.
3b + 4c + 5d a + 4c + 5d a + 3b + 5d a + 3b + 4c

1 1 1 1
Calculat , i (a + b + c + d) + + + .
a b c d
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

MGO 89. Fie ABC un triunghi echilateral s , i punctele D ∈ (BC), P ∈ (AB)
astfel ˆıncˆat m (^BAD) = m (^ADP) = x. Determinat , i valoarea lui x astfel ˆıncˆat
perpendiculara din punctul P pe dreapta AD s˘a treac˘a prin mijlocul laturii AC.

Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava

◦
MGO 90. Fie triunghiul ABC cu AB = AC s , i m (^A) = 80 . Se consider˘a
punctul D ˆın semiplanul determinat de dreapta AB s , i care nu cont , ine punctul C,
◦
astfel ˆıncˆat m (^BCD) = 40 s , i CD = BC. Calculat , i m˘asura unghiului BAD.
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

Clasa a VII-a

MGO 91. Determinat , i perechile (x, y) de numere ˆıntregi cu proprietatea c˘a
2
y
1255 + x = 2 .
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti

2
2
MGO 92. Fie numerele rat , ionale pozitive x s , i y astfel ˆıncˆat 2(x−y) +4y = 3xy
r
11x + 3y 2x + 3y
s , i ∈ Q. Calculat , i valoarea raportului .
7x + 2y 4x + 5y
Marin Chirciu, Pites , ti
∗
1
2
0
MGO 93. Determinat , i n ∈ N pentru care num˘arul 1·2 +2·2 +3·2 +. . .+n·2 n−1
este p˘atrat perfect.
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti