Page 92 - RMGO 3

92 Probleme propuse

Clasa a IX-a

MGO 101. Pentru orice numere reale pozitive a 1 , a 2 , . . . , a n s , i orice num˘ar natural
k mai mare ca 1 are loc inegalitatea
k
k
k
k
(a + n − 1)(a + n − 1) · . . . · (a + n − 1) ≥ n n−k (a 1 + a 2 + . . . + a n ) .
2
1
n
Ardak Mirzakhmedov, Kazahstan
MGO 102. S˘a se determine valoarea minim˘a a expresiei
3
3
3
2(x + y + z ) + 3xyz
E(x, y, z) =
2
2
2
2
2
x y + xy + y z + yz + z x + zx 2
cˆand x, y, z ∈ (0, ∞).
Dan Nedeianu, Drobeta Turnu Severin s , i Sorin Ulmeanu, Pites , ti
MGO 103. Rezolvat , i ˆın R × R ecuat , ia
2
3
3
2
(sin x + 2)(cos y − 3 sin y − 3) + (cos y − 3)(2 cos x − sin x − 2) = 0.
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
MGO 104. Fie ABC un triunghi neechilateral ˆınscris ˆıntr-un cerc de centru O
s , i circumscris unui cerc de centru I. Not˘am cu M, N s , i P centrele cercurilor
exˆınscrise triunghiului ABC. S˘a se arate c˘a centrul de greutate al triunghiului
MNP se afl˘a pe dreapta OI.
Marin Ionescu, Pites , ti

Y r a X r a
MGO 105. Ar˘atat , i c˘a ˆın orice triunghi ABC avem 4 · − = 1.
h a h a
Daniel Jinga, Pites , ti

Clasa a X-a

MGO 106. Fie x, y, z ∈ (0, ∞) astfel ˆıncˆat x + y + z = xyz. Demonstrat , i c˘a
√
x y z 3 3
+ + ≤ .
1 + x 2 1 + y 2 1 + z 2 4

Cˆand are loc egalitatea?
Alexandru Daniel Pˆırvuceanu, elev, Drobeta Turnu Severin