Page 94 - RMGO 3

94 Probleme propuse

MGO 113. Se consider˘a matricea A ∈ M n (C), n ≥ 2, astfel ˆıncˆat det A = 0 s , i
∗
∗
∗ 2
det(I n + A ) = 1, unde A este matricea adjunct˘a a lui A. Ar˘atat , i c˘a (A ) = O n .
Marin Ionescu, Pites , ti
MGO 114. Fie (a n ) n≥1 o progresie aritmetic˘a avˆand primul termen a 1 = 1 s , i
1 1 1
a 1 a 2 a n
a n + a n + . . . + a n
∗
rat , ia r ∈ N . Calculat , i lim .
n→∞ a n
Dan S , tefan Marinescu, Hunedoara s , i Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin
2
2
2
2
MGO 115. a) Fie a, b, c, d ≥ 0 cu a + b + c + d = 2. Demonstrat , i c˘a
a + b + c + d − (abc + abd + acd + bcd) ≤ 2.
2
2
2
2
b) Ar˘atat , i c˘a pentru orice k < 1 exist˘a a, b, c, d ≥ 0 cu a + b + c + d = 2 astfel
ˆıncˆat a + b + c + d − k(abc + abd + acd + bcd) > 2.
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin

Clasa a XII-a

∗
MGO 116. Fie a, b ∈ Z . Calculat , i probabilitatea ca alegˆand un endomorfism f
23
∗
al grupului (Z , ·) acesta s˘a verifice relat , ia f(a) = b.
23
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
MGO 117. Fie p un num˘ar prim de forma 4k + 1. Demonstrat , i c˘a polinomul
f = X p−1 + aX + 1 ∈ Z p [X] este reductibil, pentru orice a ∈ Z p .
b
R˘amˆane afirmat , ia adev˘arat˘a pentru numerele prime p de forma 4k+3?
* * *

 a + b + c + d = 4
2
2
2
4
2
MGO 118. Rezolvat , i ˆın R sistemul a + b + c + d = 52 .
a + b + c + d = 868
 4 4 4 4
Florentin Vis , escu, Bucures , ti s , i Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin
(sin x − x cos x) sin x + x π
Z n−2 n−2
MGO 119. Calculat , i dx, x ∈ 0, , unde
(sin x + x) n 2
n este un num˘ar natural fixat.
Daniel Jinga, Pites , ti
MGO 120. Fie f : [0, 1] → R o funct , ie de dou˘a ori derivabil˘a, cu derivata a doua
0
0
2
2
2
continu˘a, astfel ˆıncˆat f(0) = 0, f(1) = (a − 1) , f (0) = a s , i f (1) = a − 4a + 3,
Z 1
00
2
unde a ∈ R. Demonstrat , i c˘a f (x) 2 dx ≥ 4(4a − 6a + 3).
0
Marin Chirciu, Pites , ti