Page 91 - RMGO 3

Probleme propuse 91

MGO 94. Fie ABCD un patrulater convex, T un punct ˆın interiorul s˘au, iar
M, N, P s , i Q mijloacele laturilor AB, BC, CD, respectiv DA. Dac˘a A AMTQ = a
s , i A CPTN = c, calculat , i aria patrulaterului ABCD ˆın funct , ie de a s , i c.
Florea Badea, Scornices , ti

◦
MGO 95. Fie triunghiul ABC cu AB = AC s , i m (^A) = 100 . Se consider˘a
punctul D ˆın semiplanul determinat de dreapta AB s , i care nu cont , ine punctul C,
◦
astfel ˆıncˆat m (^BCD) = 20 s , i BD = BC. Calculat , i m˘asura unghiului ADC.
Costel Anghel, Slatina

Clasa a VIII-a

MGO 96. Fie a, b, c ∈ Q + astfel ˆıncˆat ab + bc + ca = a − b + 2. Demonstrat , i c˘a

p
2
2
2
(a + 2a + 2)(b − 2b + 2)(c + 1) ∈ Q.
Costel Anghel, Slatina s , i Florea Badea, Scornices , ti
r
2
2
a + b + c 2
MGO 97. Fie a, b, c > 0 cu a+b+c = 1. Ar˘atat , i c˘a +18abc ≤ 1.
3
Marin Ionescu, Pites , ti
MGO 98. Ar˘atat , i c˘a pentru orice a, b, c > 0 are loc inegalitatea
a(a − b)(2b + c) b(b − c)(2c + a) c(c − a)(2a + b)
+ + ≥ 0.
b + 2c c + 2a a + 2b
Ardak Mirzakhmedov, Kazahstan

MGO 99. Un trunchi de piramid˘a regulat˘a este sect , ionat cu un plan paralel
cu bazele astfel ˆıncˆat volumele celor dou˘a trunchiuri obt , inute s˘a fie egale. Dac˘a
not˘am cu L s , i l lungimile laturilor bazelor trunchiului dat s , i cu m lungimea laturii
poligonului de sect , iune, ar˘atat , i c˘a volumul cubului de muchie m este egal cu media
aritmetic˘a a volumelor cuburilor de muchii L s , i l.
* * *
MGO 100. Fie a > 0 un num˘ar real fixat. Determinat , i valorile x ∈ R pentru care
0
0
0
0
exist˘a dou˘a piramide V ABCD s , i V A B C D astfel ˆıncˆat ABCD este un p˘atrat,
0
0
0
◦
0
0
0
0
0
0
A B C D este un romb, AB = A B = a, m (^B A D ) = 60 , triunghiurile V AB
0
0
0
0
s , i V A B sunt echilaterale, iar perimetrele triunghiurilor V CD s , i V C D sunt egale
fiecare cu x.
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti