Page 82 - RMGO 3

82 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

s
√ √ 2 − p √
kb + 1+ kc + 1 ≥ k + 1+2 kp + 1. Astfel este suficient s˘a ar˘at˘am
p
s

2 − p √ √ √
c˘a k + 1 + 2 kp + 1 ≥ 3 k + 1, (1). Notˆand kp + 1 = x, avem
p
√ √ x − 1 2 − p 2k + 1 − x 2
2
x ∈ k + 1, 2k + 1 , p = , k +1 = k +1 s , i astfel
2
k p x − 1
s
2
2k + 1 − x √
inegalitatea (1) devine k + 1 ≥ 3 k + 1 − 2x, (2). Deoarece
2
x − 1
√ √ √
3 k + 1 − 2x > 0 pentru orice x ∈ k + 1, 2k + 1 , rezult˘a c˘a putem ridica
la p˘atrat ambii membri ˆın inegalitatea (2) s , i obt , inem inegalitatea echivalent˘a
√ 2 √
2
x − k + 1 2x − 2x k + 1 − k − 4 ≤ 0, (3). Deoarece r˘ad˘acinile ecuat , iei
√
√
√ k + 1 − p 3 (k + 3) k + 1 + p 3 (k + 3)
2
2x −2x k + 1−k−4 = 0 sunt < 0 < ,
√ p 2 2
k + 1 + 3 (k + 3) √
iar ≥ 2k + 1 pentru orice k ∈ (0, 24], rezult˘a c˘a avem
√ 2 √ √
2
2x − 2x k + 1 − k − 4 ≤ 0 pentru orice x ∈ k + 1, 2k + 1 s , i astfel inegalita-
√ √ √
tea (3) este adev˘arat˘a. Cazul 2. p > 2. Avem ka + 1 + kb + 1 + kc + 1 ≥
√ √ √
1 + 2 kp + 1 > 1 + 2 2k + 1 ≥ 3 k + 1. Demonstrat , ia este ˆıncheiat˘a. Observ˘am
c˘a egalitatea are loc pentru (1, 1, 1), dac˘a 0 < k < 24, respectiv pentru (1, 1, 1)
sau (0, 2, 2) s , i permut˘arile sale, dac˘a k = 24.
MGO 69. Rezolvat ,i ˆın mult ,imea numerelor reale ecuat ,ia
2
2
2
2
sin x cos x = cos x sin x .
Daniel Jinga, Pites , ti
2
2
Solut ,ie. Fie t = sin x ∈ [0, 1], deci cos x = 1 − t ∈ [0, 1]. Ecuat , ia dat˘a devine
t
t 1−t = (1 − t) . Evident, t = 0 s , i t = 1 nu sunt solut , ii, deci t ∈ (0, 1). Prin
ln t ln(1 − t)
logaritmare ecuat , ia devine (1 − t) ln t = t ln(1 − t), adic˘a = . Fie
t 1 − t
ln t 1 1
f : (0, 1) → R, f(t) = . Dac˘a 0 < x < y < 1 atunci > > 0 s , i
t x y
− ln x − ln y
ln x < ln y < 0, deci − ln x > − ln y > 0, prin urmare > , adic˘a
x y
f)x) < f(y). Rezult˘a c˘a funct , ia f este strict cresc˘atoare, deci injectiv˘a. Astfel
2
2
2
ecuat , ia devine: f(t) = f(1 − t) ⇔ t = 1 − t ⇔ sin x = cos x ⇔ tg x = 1 ⇔
(2k + 1)π
tg x = ±1 ⇔ x = , cu k ∈ Z.
4
 2
 a = b(2b − c)
3
2
MGO 70. Rezolvat ,i ˆın C sistemul b = c(2c − a) .
c = a(2a − b)
 2
Florin St˘anescu, G˘aes , ti