Page 75 - RMGO 3

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 75

0
0
0
(unghiuri drepte), rezult˘a c˘a ^AOO ≡ ^AO O, deci triunghiul OAO este isoscel,
√
2
0
cu AO = AO . Prin urmare, avem V V ABCD = A ABCD = 2AO √ = 8 3 .
V V AEF A AEF 3AO 2 3 9
4
MGO 57. Reprezentat ,i grafic, ˆıntr-un sistem de coordonate xOy, solut ,iile ecuat ,iei
3
3
3
x + y + (x + y) + 50(x + y) + 15xy = 500, x, y ∈ R.
Marin Chirciu, Pites , ti
2
2
Solut ,ie. Egalitatea din enunt , este echivalent˘a cu (x + y − 5)(2x + xy + 2y + 10x +
2
2
2
2
10y + 100) = 0. Cum 2x + xy + 2y + 10x + 10y + 100 = (x + 5) + (y + 5) +
y 3y
2 2
x + + + 50 > 0, obt , inem c˘a x + y − 5 = 0 (ecuat , ia unei dreapte).
2 4
0
0
0
0
0
MGO 58. Se consider˘a cubul ABCDA B C D , E mijlocul segmentului [AA ] s , i
0
0
F ∈ C D astfel ˆıncˆat EB ⊥ DF. Calculat ,i cosinusul unghiului dintre planele
(EBD) s , i (FBD).
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
0
0
0
ˆ
0
Solut ,ie. In p˘atratul ABB A se arat˘a c˘a EB ⊥ AF , unde F este mijlocul lui
0
0
0
0
0
[A B ]. Rezult˘a c˘a DFkAF , deci F este mijlocul lui [C D ]. Fie M mijlocul lui
[CD] s , i MP ⊥ BD, P ∈ BD, deci P este mijlocul lui [OD], unde {O} = AC ∩BD.
Conform Teoremei celor trei perpendiculare rezult˘a c˘a FP ⊥ BD. Fie N mijlocul
lui [ED]. Avem NPkEO, deci NP ⊥ BD. Rezult˘a c˘a ^ ((EBD), (FBD)) =
√ √
a 2 √ a 3
2
2
^NPF. Fie AB = a. Aven AO = , EO = EA + AO = , deci
√ 2 √ 2
EO a 3 CO a 2
NP = = . De asemenea, avem FM = a, MP = = , deci FP =
2 4 √ 2 4 √
√ 3a 2 A C 0 a 2
0
0
0
2
2
FM + MP = . Fie Q mijlocul lui [A D ]. Avem QF = = ,
4 √ 2 2
0
0
A E + D D 3a p a 17
2
2
QN = = , deci FN = QF + QN = . Aplicˆand Teorema
2 4 4 √
2
2
NP + FP − FN 2 6
cosinusului ˆın 4NPF avem cos(^NPF) = = .
2NP · FP 9
1 1 1
MGO 59. Fie n ∈ N, n ≥ 2 s , i x 1 , x 2 , . . . , x n > 0 astfel ˆıncˆat + +. . .+ =
x 1 x 2 x n
2
2
2
x
n. Ar˘at˘at ,i c˘a x x 2 + x x 3 + . . . + x 2 n−1 n + x x 1 ≥ 2(x 1 + x 2 + . . . + x n ) − n.
n
1
2
Marin Ionescu, Pites , ti
2
2
Solut ,ie. Folosind egalitatea din enunt , s , i Inegalitatea mediilor, avem x x 2 + x x 3 +
1
2

1 1 1
2
2
2
2
. . .+x x 1 +n = x x 2 + + x x 3 + +. . .+ x x 1 + ≥ 2x 1 +2x 2 +
2
n
n
1
x 2 x 3 x 1
. . . + 2x n .