Page 71 - RMGO 3

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 71

0
0
2 2 B C |AC − AB | |AC − AB| |AB − AC|
P 1 G 1 = · P 1 M = · = = = , deci
3 3 2 3 3 3
punctul P 1 are proprietatea din enunt , . Analog se arat˘a c˘a s , i punctul P 2 are
aceast˘a proprietate. Reciproc, dac˘a un punct P are proprietatea din enunt , , atunci
3 |AB − AC|
PM = ·PG = , deci MP = MP 1 = MP 2 , de unde rezult˘a c˘a P = P 1
2 2
|AB − AC|
sau P = P 2 (ˆın caz contrar cercul de centru M s , i raz˘a ar intersecta
2
bisectoarea unghiului BAC ˆın trei puncte distincte, P, P 1 s , i P 2 , fals).
MGO 48. Ar˘atat ,i c˘a oricare ar fi numerele naturale n, a, b, r cu 0 ≤ r ≤ 3 s , i
a ≥ b ≥ 1, num˘arul N = n 4a+r − n 4b+r este divizibil cu 30.
Marian Haiducu, Pites , ti

k
4
Solut ,ie. Avem N = n r n 4a − n 4b . Cum n ∈ {M3, M3 + 1} s , i (M3) = M3,
k ∗ 4a 4b
(M3 + 1) = M3 + 1, pentru orice k ∈ N , rezult˘a c˘a n − n = M3, deci N
k
4
se divide cu 3. Cum n ∈ {M10, M10 + 1, M10 + 5, M10 + 6} s , i (M10 + r) =
∗
M10 + r, pentru orice r ∈ {0, 1, 5, 6} s , i k ∈ N , rezult˘a c˘a n 4a − n 4b = (M10 +
r) − (M10 + r) = M10, deci N se divide cu 10. Fiind divizibil cu 3 s , i cu 10, iar 3
s , i 10 fiind prime ˆıntre ele, rezult˘a c˘a N este divizibil cu 30.
MGO 49. Determinat ,i numerele naturale a s , i b, s , tiind c˘a cel mai mare divizor
comun al lor este 1005, iar suma p˘atratelor lor este egal˘a cu 10100250.

Marin Chirciu, Pites , ti
ˆ
Solut ,ie. Avem (a, b) = 1005, deci a = 1005x s , i b = 1005y cu (x, y) = 1. Inlocuind
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ˆın a +b = 10100250 obt , inem 1005 ·x +1005 ·y = 10·1005 , adic˘a x +y = 10,
cu solut , iile (x, y) ∈ {(1, 3), (3, 1)}. Astfel (a, b) ∈ {(1005, 3015), (3015, 1005)}.
MGO 50. Fie ABC un triunghi, D un punct pe dreapta BC diferit de B s , i de C,
M un punct pe segmentul (AD), iar E s , i F picioarele perpendicularelor duse din
D pe dreptele MB, respectiv MC. S , tiind c˘a [DE] ≡ [DF] s , i EFkBC, ar˘at˘at ,i c˘a:
a) E ∈ (MB) s , i F ∈ (MC), iar D este mijlocul lui [BC].
b) Triunghiul ABC este isoscel, [AB] ≡ [AC].
Florin St˘anescu, G˘aes , ti
Solut ,ie. a) Avem 4MED ≡ 4MEF (cazul C.I.), deci ^DME ≡ ^DMF s , i
[ME] ≡ [MF], de unde rezult˘a c˘a punctele E s , i F sunt situate de o parte s , i de
alta a dreptei AD (ˆın caz contrar am avea E = F, deci M, B, C ar fi coliniare,
fals) s , i c˘a MD este perpendicular˘a pe EF ˆın mijlocul O al lui [EF]. Astfel avem
O ∈ (MD) (EO fiind ˆın˘alt , ime ˆın 4MED dreptunghic ˆın E). Cum EFkBC,
ˆ
rezult˘a c˘a E ∈ (MB) s , i F ∈ (MC). In 4BMC, MD este bisectoare s , i ˆın˘alt , ime,
ˆ
deci este s , i median˘a, adic˘a D este mijlocul lui [BC]. b) In 4BAC, AD este
ˆın˘alt , ime (deoarece AD ⊥ EF s , i EFkBC) s , i median˘a, deci 4BAC este isoscel,
[AB] ≡ [AC].