Page 67 - RMGO 3

Teste pentru examenul de Bacalaureat, specializarea matematic˘a-informatic˘a 67

a) Rezolvat , i sistemul pentru m = 3 s , i n = 0.
b) Pentru m = 3, determinat , i num˘arul ˆıntreg n astfel ˆıncˆat matricea
sistemului s˘a aib˘a rangul egal cu 2.

c) Determinat , i perechile de numere ˆıntregi m s , i n astfel ˆıncˆat matricea
sistemului s˘a aib˘a determinantul egal cu 2.

3
2
2. Se consider˘a polinomul f = X + aX − 21X + 27, unde a este num˘ar real.
a) Determinat , i num˘arul real a, s , tiind c˘a polinomului f este divizibil cu
X + a.
3
3
3
b) Pentru a = 0, calculat , i (x 1 + x 2 ) + (x 2 + x 3 ) + (x 3 + x 1 ) , unde x 1 ,
x 2 s , i x 3 sunt r˘ad˘acinile polinomului f.
c) Determinat , i num˘arul real a astfel ˆıncˆat r˘ad˘acinile polinomului f s˘a fie
numere reale ˆın progresie geometric˘a.

SUBIECTUL al III-lea

2
1. Se consider˘a funct , ia f : (0, +∞) → R, f(x) = x ln(2x).
0
a) Ar˘atat , i c˘a f (1) = ln(4e).
b) Demonstrat , i c˘a graficul funct , iei f nu are asimptote.
0
c) Determinat , i valoarea minim˘a a funct , iei f .
x − 2
2. Fie funct , ia f : [0, 2] → R, f(x) = . Pentru fiecare num˘ar natural
2
x − 4x + 5
1 2
Z Z
n
n
nenul n, fie I n = x f(x) dx s , i J n = x f(x) dx.
0 0
a) Ar˘atat , i c˘a aria suprafat , ei plane delimitate de graficul funct , iei f s , i axele
√
de coordonate este egal˘a cu ln 5.
b) Ar˘atat , i c˘a lim nI n = f(1).
n→+∞
c) Calculat , i lim J n .
n→+∞