Page 62 - RMGO 3

62 Mihai Florea DUMITRESCU

4. Calculat , i probabilitatea ca, alegˆand la ˆıntˆamplare un num˘ar din mult , imea
{10, 11, 12, . . . , 70}, acesta s˘a aib˘a r˘ad˘acina p˘atrat˘a un num˘ar rat , ional.

ˆ
5. In reperul cartezian xOy se consider˘a dreptele d 1 : x + y + 1 = 0,
d 2 : x − y + a = 0 s , i d 3 : 2x + y + 4 = 0, unde a este un num˘ar real.
Determinat , i a ∈ R pentru care dreptele d 1 , d 2 s , i d 3 sunt concurente.

6. Triunghiul ABC are AB = 9, AC = 12 s , i cos A = 0. Aflat , i lungimea razei
cercului circumscris triunghiului ABC.

SUBIECTUL al II-lea
   
x 0 2x 0 x 0
1. Fie matricele A(x) =  0 x 0  s , i B(x) =  −x 0 −x  , unde
2x 0 x 0 x 0
x ∈ R.

a) Calculat , i det [A (1) + B (−1)].
2
b) Ar˘atat , i c˘a A(x) · B(x) + B(x) · A(x) = 4x · B(1), pentru orice x ∈ R.
c) Rezolvat , i ecuat , ia det [A (x) + B (x) + I 3 ] = 0, x ∈ R.

3
2
2. Se consider˘a polinomul f = X − 4X − 3X + 2, cu r˘ad˘acinile x 1 , x 2 , x 3 .
a) Calculat , i cˆatul s , i restul ˆımp˘art , irii polinomului f la polinomul 2X − 1.
b) Ar˘atat , i c˘a polinomul f nu are toate r˘ad˘acinile rat , ionale.
4
4
4
c) Calculat , i x + x + x .
1 2 3
SUBIECTUL al III-lea
5
3
1. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = x − 5x + 10x.
0
0
f (x) − f (1)
a) Calculat , i lim .
x→1 x − 1
b) Stabilit , i intervalele de monotonie pentru funct , ia f.
√
" !
6
0
c) Ar˘atat , i c˘a funct , ia f este strict cresc˘atoare pe intervalul , +∞ .
2
2. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = sin x.
π
Z
a) Calculat , i 2 f (x) dx.
0
π
Z
2
b) Calculat , i 2 f (x) dx.
0
1 1
Z
4
c) Ar˘atat , i c˘a f (x) dx ≤ .
0 5