Page 93 - RMGO 2

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 93

de 9, deci le elimin˘am pe toate, r˘amˆan 600 de cifre 9 s , i mai avem de eliminat
11 cifre din port , iunea b = 20002001 . . . 2017. Cea mai mare cifr˘a din primele 12
ale lui b este 2, aceasta r˘amˆane s , i mai avem de eliminat 11 cifre din port , iunea
c = 0002001 . . . 2017. Cea mai mare cifr˘a din primele 12 ale lui c este 2, aceasta
r˘amˆane, elimin˘am cifrele 000 din fat , a ei s , i mai avem de eliminat 8 cifre din
port , iunea d = 0012002 . . . 2017. Cea mai mare cifr˘a din primele 9 ale lui d este 2,
aceasta r˘amˆane, elimin˘am cifrele 001 din fat , a ei s , i mai avem de eliminat 5 cifre din
port , iunea e = 0022003 . . . 2017. Continuˆand acest procedeu obt , inem c˘a num˘arul
maxim cerut este 99 . . . 9 2222320042005 . . . 2017.
| {z }
600 cifre
MGO 7. S˘a se arate c˘a num˘arul N = 12345 00 . . . 0 6789 nu este divizibil cu 7.
| {z }
2017 ori
Generalizare. (Enunt , modificat.)
Costel Anghel, Slatina
Solut ,ie. Avem 12345 = 7 · 1763 + 4 s , i 67890 = 7 · 9698 + 4, deci 10N =
12341 00 . . . 0 67886 + 4 00 . . . 0 4. Cum 7|12341 s , i 7|67886, r˘amˆane de demonstrat
| {z } | {z }
2017 ori 2021 ori
ˆ

c˘a 4 00 . . . 0 4 nu se divide cu 7. Intr-adev˘ar, avem 4 00 . . . 0 4 = 4 10 2022 + 1 =
| {z } | {z }
2021 ori 2021 ori

4 1000 674 + 1 = 4 (M7 − 1) 674 + 1 = 4 (M7 + 1 + 1) = M7 + 1.
Analog se obt , ine urm˘atoarea generalizare: num˘arul N = 12345 00 . . . 0 6789
| {z }
n ori
este divizibil cu 7 dac˘a s , i numai dac˘a n = 6k + 4, k ∈ N.
MGO 8. Determinat ,i cˆate numere naturale se pot scrie, ˆın baza 10, sub forma
x0y + y0x + x0x + x7.
Liviu Chirimbu, Bucures , ti
Solut ,ie. Fie a = x0y + y0x + x0x + x7 = 212x + 101y + 7, x, y ∈ {1, 2, . . . , 9}.
Cum x s , i y iau fiecare cˆate 9 valori, rezult˘a c˘a exist˘a cel mult 81 de numere a
de forma dat˘a. Ar˘at˘am c˘a fiecare astfel de num˘ar a se poate scrie ˆın mod unic
ˆ
sub forma dat˘a. Intr-adev˘ar, dac˘a a = 212x + 101y + 7 = 212z + 101t + 7, cu
x, y, z, t ∈ {1, 2, . . . , 9}, atunci 212(x − z) = 101(t − y). Cum 212 s , i 101 sunt prime
ˆıntre ele, rezult˘a c˘a 101|x − z. Dar −8 ≤ x − z ≤ 8, deci x − z = 0 s , i astfel x = z
ˆ
s , i y = t. In concluzie, exist˘a 81 de numere naturale de forma dat˘a.
AM
MGO 9. Fie M ∈ [AB] astfel ˆıncˆat = k. Ar˘atat ,i c˘a oricare ar fi punctul
MB
N ∈ [AB] avem (k + 1)MN = |AN − kBN| .
George Mihai, Slatina
Solut ,ie. Dac˘a N ∈ [AM], atunci |AN − kBN| = |AM − MN − k(MB + MN)| =
|kMB − MN − k(MB + MN)| = |−(k + 1)MN| = (k + 1)MN.

Dac˘a N ∈ (MB], atunci |AN − kBN| = |AM + MN − k(MB − MN)| =
|kMB + MN − k(MB − MN)| = |(k + 1)MN| = (k + 1)MN.