Page 91 - RMGO 2

PROBLEME PENTRU CONCURSURI 91

PROBLEME PENTRU CONCURSURI

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

Clasa a V-a

MGO 1. Se consider˘a un s , ir format din 100 de cartonas , e albe s , i 100 de cartonas , e
ros , ii. S˘a se arate c˘a, pentru orice ordine a cartonas , elor, exist˘a 100 de cartonas , e
consecutive care sunt jum˘atate albe s , i jum˘atate ros , ii.

Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

Solut ,ie. Pentru orice subs , ir de 100 de cartonas , e consecutive, not˘am cu a num˘arul
de cartonas , e albe s , i cu r num˘arul de cartonas , e ros , ii. Evident, a + r = 100. Pentru
sub¸sirul format din primele 100 de cartonas , e avem 100+a−r = 100+a 1 −r 1 = 2k,
unde k ∈ {0, 1, 2, . . . , 100}, iar pentru sub¸sirul format din ultimele 100 de cartonas , e
0
avem 100 + a − r = 200 − 2k (deoarece r˘amˆan a = 100 − a 1 cartonas , e albe s , i
0
r = 100 − r 1 cartonas , e ros , ii). Cum la fiecare deplasare a subs , irului valoarea
100 + a − r cres , te sau scade cu 2 sau r˘amˆane constant˘a, rezult˘a c˘a aceasta devine
la un moment dat egal˘a cu 100, deci ˆın acel moment vom avea a = r.
Remarc˘am c˘a putem lucra direct cu numere negative ˆınlocuind expresia 100 +
a − r cu diferent , a a − r, care are init , ial valoarea a 1 − r 1 = 2m, cres , te sau scade cu
2 sau r˘amˆane constant˘a, iar la final are valoarea r 1 − a 1 = −2m, deci devine la un
moment dat egal˘a cu 0.

MGO 2. Ar˘atat ,i c˘a numerele N (k, n) = 444 . . . 4 777 . . . 7 333 . . . 3 sunt numere
| {z } | {z } | {z }
k−cifre n−cifre k−cifre
∗
naturale compuse, unde k, n ∈ N .
Costel Anghel, Slatina

Solut ,ie. Putem rescrie N (k, n) = 444 . . . 4 444 . . . 4 000 . . . 0 + 333 . . . 3 333 . . . 3 =
| {z } | {z } | {z } | {z } | {z }
k cifre n cifre k cifre n cifre k cifre
k
k
4 · 111 . . . 1 ·10 + 3 · 111 . . . 1 = 111 . . . 1(4 · 10 + 3).
| {z } | {z } | {z }
k+n cifre k+n cifre k+n cifre
MGO 3. Ar˘atat ,i c˘a exist˘a 2017 numere naturale consecutive astfel ˆıncˆat niciunul
dintre ele nu este num˘ar prim. Generalizare.
Florea Badea, Scornices , ti