Page 94 - RMGO 2

94 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

MGO 10. Fie ABC un triunghi echilateral. Ar˘atat ,i c˘a ˆın planul acestui triunghi
exist˘a un unic punct S astfel ˆıncˆat ^ASB ≡ ^BSC ≡ ^CSA.

* * *

Solut ,ie. Fie S un punct din plan astfel ˆıncˆat ^ASB ≡ ^BSC ≡ ^CSA. Rezult˘a
c˘a ^ASB, ^BSC s , i ^CSA sunt unghiuri ˆın jurul punctului S, deci S este situat
◦
ˆın interiorul triunghiului ABC s , i m(^ASB) = m(^BSC) = m(^CSA) = 120 .
◦
Notˆand m(^SAB) = x, deducem c˘a m(^SBA) = 60 − x, m(^SBC) = x,
◦
◦
m(^SCB) = 60 − x, m(^SCA) = x, m(^SAC) = 60 − x. Rezult˘a c˘a 4ASB ≡
4BSC ≡ 4CSA (cazul U.L.U.), deci [SA] ≡ [SB] ≡ [SC], adic˘a S este centrul
cercului circumscris triunghiului ABC. Reciproc, triunghiul ABC fiind echilateral,
acest centru ˆındeplines , te congruent , ele din enunt , .
Ment , ion˘am c˘a proprietatea din enunt , este valabil˘a ˆın orice triunghi ABC cu
◦
m˘asurile unghiurilor strict mai mici decˆat 120 , punctul S numindu-se punctul
Torricelli-Fermat (https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_point) al triunghiului
ABC. De asemenea, el este unicul punct din plan cu proprietatea c˘a suma
SA+SB+SC este minim˘a, fiind astfel numit s , i punctul Steiner pentru punctele A,
B s , i C (https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_tree_problem). Evident, acest
punct este centrul cercului circumscris doar ˆın triunghiul echilateral.

Clasa a VII-a

2
3
2
3
2
3
2
2
2
MGO 11. Se consider˘a suma S = 1 ·2 ·3 +2 ·3 ·4 +. . .+2016 ·2017 ·2018 .
S
S˘a se arate c˘a S se divide cu 72, iar num˘arul este un p˘atrat perfect.
72
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
2 3
2
Solut ,ie. Deoarece (n + 2) − (n − 2) 2 = 8n, avem 8(n − 1) n (n + 1) 2 =
2
2 2
2
2
2 2
2
(n − 1) n (n + 1) (n + 2) − (n − 2) (n − 1) n (n + 1) . ˆ
Insumˆand obt , inem
2
S 2016 · 2017 · 2018 · 2019
2
2
2
2
8S = 2016 · 2017 · 2018 · 2019 , deci = .
72 3 · 8
MGO 12. Se consider˘a un p˘atrat ABCD s , i punctele M ∈ [AB] s , i N ∈ [AD]
◦
astfel ˆıncˆat m (^MCN) = 45 . S˘a se arate c˘a:
a) MN = MB + ND.

MB ND
b) 1 + 1 + = 2.
AB AD
Costel Anghel, Slatina