Page 92 - RMGO 2

92 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

Solut ,ie. Fie N = 1 · 2 · 3 · . . . · 2018 (produs care se noteaz˘a cu 2018! s , i se numes , te
2018-factorial). Atunci numerele N +2, N +3, . . . , N +2018 sunt compuse, deoarece
se divid cu 2, 3, . . . , respectiv 2018.
∗
Generalizarea este evident˘a: pentru orice num˘ar n ∈ N , exist˘a n numere
naturale consecutive astfel ˆıncˆat niciunul dintre ele nu este num˘ar prim.

MGO 4. a) Ar˘atat ,i c˘a 2 2400 + 3 1200 > 7 800 + 2.
b) Ar˘atat ,i c˘a num˘arul A = 2 2400 + 3 1200 − 7 800 − 2 este multiplu de 14.

Daniela Nadia Taclit, Slatina
Solut ,ie. a) 2 2400 = 8 800 > 7 800 , iar 3 1200 > 2.

b) Evident, A este num˘ar par. Avem s , i A = 8 800 + 729 200 − 7 800 − 2 =
(7 + 1) 800 + (7 · 104 + 1) 200 − 7 800 − 2 = M7 + 1 + M7 + 1 + M7 − 2 = M7.
m
MGO 5. Ar˘atat ,i c˘a num˘arul n = 17 , unde m este un num˘ar natural nenul, se
poate scrie ca o sum˘a de dou˘a p˘atrate perfecte.
* * *
2
2k
2
2k
2
k

Solut ,ie. Dac˘a m = 2k+1, atunci n = 17 ·17 = 17 (4 +1 ) = 17 · 4 + 17 k 2 .
2
2
2
Dac˘a m = 2k, atunci n = 17 2k−2 · 17 = 17 2k−2 (15 + 8 ) = 17 k−1 · 15 2 +
2

17 k−1 · 8 .
Clasa a VI-a

MGO 6. Se consider˘a num˘arul a = 123 . . . 9101112 . . . 2017.

a) Cˆate cifre are num˘arul a?
b) Din num˘arul a se elimin˘a 6300 de cifre astfel ˆıncˆat num˘arul r˘amas s˘a fie
cˆat mai mare posibil. Determinat ,i num˘arul r˘amas.
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

Solut ,ie. a) Num˘arul de cifre ale lui a este 9 + 2 · 90 + 3 · 900 + 4 · 1018 = 6961.
b) Num˘arul de cifre egale cu 9 ale lui a, adic˘a din s , irul 1, 2, 3, . . . , 2017, este
201 (unit˘at , i) +20 · 10 (sute) + 2 · 100 (mii) = 601. Astfel num˘arul de cifre diferite
de 9 din a este 6961 − 601 = 6360, deci nu le putem elimina pe toate. Dup˘a
ultima cifr˘a de 9 din a avem 20102011 . . . 2017, adic˘a 32 de cifre diferite de 9,
deci ˆınaintea sa avem 6360 − 32 = 6328 de cifre diferite de 9, deci nu le putem
elimina pe toate. Dup˘a penultima cifr˘a de 9 din a avem 20002001 . . . 2017, adic˘a
71 de cifre diferite de 9, deci ˆınaintea sa avem 6360 − 71 = 6289 de cifre diferite