Page 96 - RMGO 2

96 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

Clasa a VIII-a

MGO 16. a) Determinat ,i cel mai mare num˘ar ˆıntreg n cu proprietatea c˘a expresia
2
2
2
2
2
2 2 2
2
a b c (a − b )(b − c )(c − a ) se divide cu n pentru orice numere ˆıntregi a, b, c.
3
3
3
3
3
3 3 3
3
b) Aceeas , i cerint ,˘a pentru expresia a b c (a − b )(b − c )(c − a ).
Costel Anghel, Slatina s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
5
3
Solut ,ie. a) Notˆand cu E(a, b, c) expresia din enunt , , avem E(1, 2, 3) = 2 · 3 · 5 =
4320. Pentru a demonstra c˘a n = 4320 este num˘arul cerut, este suficient s˘a ar˘at˘am
2
2
2
c˘a E(a, b, c) se divide cu 4320, ∀a, b, c ∈ Z. Evident, a , b , c ∈ {M4, M8 + 1}.
2
2
2 2
2
2
Dac˘a a , b ∈ {M4} (sau cazurile analoage), atunci a b (a − b ) = M32; dac˘a
2
2
2
2
2
2
a ∈ {M4} s , i b , c ∈ {M8+1} (sau cazurile analoage), atunci a (b −c ) = M32;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dac˘a a , b , c ∈ {M8+1}, atunci (a −b )(b −c )(c −a ) = M32; deci E(a, b, c)
2
2
2
se divide cu 32, ∀a, b, c ∈ Z. Similar, deoarece a , b , c ∈ {M9, M3+1} se deduce
2
2
2
c˘a E(a, b, c) se divide cu 27, iar deoarece a , b , c ∈ {M5, M5 ± 1} se deduce c˘a
E(a, b, c) se divide s , i cu 5.
4
3
b) Notˆand cu F(a, b, c) expresia din enunt , , avem F(1, 2, 3) = 2 · 3 · 7 · 13 · 19,
2
3
iar F(1, 2, 4) = 2 12 · 3 · 7 . Cum cel mai mare divizor comun al acestor dou˘a
2
4
numere este 2 · 3 · 7 = 1008, pentru a demonstra c˘a n = 1008 este num˘arul
cerut, este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a E(a, b, c) se divide cu 1008, adic˘a cu 16, cu 9
s , i cu 7, ∀a, b, c ∈ Z. Aceste divizibilit˘at , i se obt , in similar celor ar˘atate la punctul
3
3
3
3
3
3
a), utilizˆand acum relat , iile a , b , c ∈ {M8, M4 ± 1}, a , b , c ∈ {M9, M9 ± 1},
3
3
3
respectiv a , b , c ∈ {M7, M7 ± 1}.
ˆ
MGO 17. Intr-o piramid˘a triunghiular˘a regulat˘a distant ,a de la centrul bazei la
una din fet ,ele laterale este egal˘a cu 10 dm, iar m˘asura unghiului diedru dintre baz˘a
◦
s , i o fat ,˘a lateral˘a este egal˘a cu 30 . Calculat ,i:
a) Aria lateral˘a s , i volumul piramidei;
b) Distant ,a de la centrul bazei la ortocentrul unei fet ,e laterale.
Florea Badea, Scornices , ti
Solut ,ie. a) Fie V ABC piramida dat˘a, O centrul bazei, M mijlocul lui [AB] s , i
◦
OP ⊥ V M, P ∈ (V M). Avem OP = 1 m s , i m(^V MO) = 30 . Din 4OPM
√
√
rezult˘a c˘a PM = 3 m s , i OM = 2 m, deci CM = 6 m s , i AB = 4 3 m, iar din
√ √
2
4V OM rezult˘a c˘a V O = 2 3 m s , i V M = 4 3 m. Se obt , ine c˘a A l = 24 m s , i
3
3
3
V = 8 m .
b) Fie H ortocentrul 4V AB. Deoarece V M < V A = V B, rezult˘a c˘a
◦
m(^AV B) > 90 s , i astfel V ∈ (HM). Folosind asem˘anarea dintre 4HMB s , i
√ √
4AMV (cazul U.U.), se obt , ine c˘a HM = 3 3 m, deci HP = HM−PM = 2 3 m.
√
2
Aplicˆand Teorema lui Pitagora ˆın 4OPH rezult˘a c˘a OH = OP + HP 2 =
√
13 m.