Page 101 - RMGO 2

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 101

(a + b + c) 2 2 8
s˘a ar˘at˘am c˘a 2 · + ≥ , sau, echivalent,
2
2
(ab + bc + ca) 2 a + b + c 2 ab + bc + ca
2
2
(a + b + c) 2 ab + bc + ca a + b + c 2 ab + bc + ca
+ ≥ 4, adic˘a + ≥ 2, inegalitate
2
2
2
2
ab + bc + ca a + b + c 2 ab + bc + ca a + b + c 2
care este evident adev˘arat˘a.
4
MGO 28. Rezolvat ,i ˆın R sistemul

 a + b + c + d = 6
2
2
2
2
a + b + c + d = 12 .

4 (abc + abd + acd + bcd) = 27 + 4abcd
Leonard Giugiuc s , i Diana Tr˘ailescu, Drobeta Turnu Severin
Solut ,ie. Notˆand a − 1 = x, b − 1 = y, c − 1 = z s , i d − 1 = t, sistemul dat

 x + y + z + t = 2
 2 2 2 2
x + y + z + t = 4
este echivalent cu . Avem xyzt > 0, x + y + z + t > 0 s , i
1

 xyzt =
4
xy+xz+xt+yz+yt+zt = 0, deci dou˘a dintre numerele x, y, z, t sunt pozitive s , i ce-
lelalte dou˘a sunt negative. F˘ar˘a a restrˆange generalitatea, presupunem c˘a x, y > 0
2
2
2
2
s , i z = −u, t = −v, cu u, v > 0. Avem u + v = x + y − 2 s , i u + v = 4 − (x + y ).
2
2
2
2
2
2
Deoarece (u + v) ≤ 2(u + v ), rezult˘a c˘a 2(x + y ) + (x + y − 2) ≤ 8. Cum
2
2
2
2
2
(x + y) ≤ 2(x + y ), deducem c˘a (x + y) + (x + y − 2) ≤ 8. Notˆand x + y = 2s
√
3 + 1
2
2
2
rezult˘a c˘a 2s − 2s − 1 ≤ 0, deci s ≤ k, unde k = . Deci xy ≤ s ≤ k . Pe
√ 2
u + v 3 − 1 1 1
2
de alt˘a parte, = s−1 ≤ = , deci uv ≤ (s−1) ≤ . Rezult˘a c˘a
2 2 2k 4k 2
1 1 1
2
xyzt = xyuv ≤ k · = . Mai mult, xyzt = dac˘a s , i numai dac˘a x = y = k s , i
4k 2 4 4
√ √ √ √ !
1 1 + 3 1 + 3 1 − 3 1 − 3
u = v = , adic˘a (x, y, z, t) = , , , . Astfel
2k 2 2 2 2
√ √ √ √
!
3 + 3 3 + 3 3 − 3 3 − 3
solut , iile sistemului din enunt , sunt (a, b, c, d) = , , ,
2 2 2 2
s , i permut˘arile acesteia.
MGO 29. Fie a > −1. Rezolvat ,i ecuat ,ia
√
3
3
10 10x + 12 = (a + 1) x − 10ax − 12(a + 1).
Daniel Jinga, Pites , ti
√ x − 12
3
Solut ,ie. Ecuat , ia se rescrie sub forma 3 10x + 12 + ax = (a + 1) . Not˘am
10
3
x − 12 r 10y √
(a + 1) = y, deci x = 3 + 12, (1). Dar 3 10x + 12 + ax = y, (2).
10 a + 1
√ r 10y
Adunˆand (1) s , i (2) se obt , ine: 3 10x + 12 + (a + 1)x = 3 + 12 + y, (3).
a + 1