Page 103 - RMGO 2

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 103

Solut ,ie. Avem dou˘a cazuri.
1) σ(2016) = 1 s , i σ(2017) = 2. Atunci permutarea σ este un ciclu, s , i anume
σ = (1 3 5 . . . 2017 2 4 . . . 2016), deci are ordinul ord (σ) = 2017. Luˆand x = σ 807
5
avem x = σ 4035 = σ 2017·2+1 = σ.
2) σ(2016) = 2 s , i σ(2017) = 1. Atunci σ se descompune ˆın produs de doi
cicli disjunct , i, s , i anume σ = (1 3 5 . . . 2017) · (2 4 . . . 2016), deci are ordinul
n
ord (σ) = [1009, 1008] = 1008 · 1009. Luˆand x = σ , unde n = 2·1008·1009+1 ∈ N,
5
5
avem x = σ 1008·1009·2+1 = σ.
MGO 32. Se consider˘a num˘arul natural k, k ≥ 2. Calculat ,i limita s , irului (a n )
n≥0
q
4
k a 2 n−1 n−2
a
definit prin a 0 = −1, a 1 = −2 s , i a n = , ∀ n ≥ 2.
a n−2
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
Solut ,ie. Evident, a n < 0, ∀ n ≥ 0 (induct , ie). Fie b n = ln(−a n ), ∀ n ≥ 0. Atunci
b 0 = 0, b 1 = ln 2 s , i kb n = 2b n−1 + (4 − k)b n−2 , ∀ n ≥ 2. Ecuat , ia caracteris-
2
tic˘a a acestei recurent , e liniare este kx − 2x + k − 4 = 0, avˆand determinantul
2
∆ = −4(k − 4k − 1) 6= 0, deci r˘ad˘acinile sale x 1 , x 2 sunt distincte.
Pentru k ≥ 5 avem ∆ < 0, deci x 1 , x 2 ∈ C \ R, x 2 = x 1 s , i exist˘a c 1 , c 2 ∈ C
n
n
a.ˆı. b n = c 1 x + c 2 x , ∀ n ≥ 0. Din b 0 = 0 obt , inem c 2 = −c 1 , deci avem
1 2
n
n
b n = c 1 (x −x ), ∀ n ≥ 0. Considerˆand forma trigonometric˘a x 1 = r(cos t+i sin t),
1
2
q
unde r = |x 1 | = |x 2 | = k−4 (deoarece x 1 x 2 = k−4 ) s , i t ∈ (0, 2π) \ {π} (deoarece
k k
n
x 1 6∈ R), rezult˘a c˘a b n = 2ic 1 · r sin nt, ∀ n ≥ 0. Deoarece b 1 = ln 2 obt , inem
ln 2 r n−1 ln 2 sin nt ln 2 sin nt q k−4 n−1
c 1 = , deci b n = = · k , ∀ n ≥ 0.
2ir sin t sin t sin t
Rezult˘a c˘a lim b n = 0, deci lim a n = −1.
n→∞ n→∞
√
1 ± 5
n
n
Pentru k = 2 avem x 1,2 = s , i b n = c 1 x + c 2 x , ∀ n ≥ 0. Din b 0 = 0
1 2
√ ! n √ ! #
n
2 "
ln 2 1 + 5 1 − 5
s , i b 1 = ln 2 obt , inem c˘a b n = √ − , ∀ n ≥ 0. Deci
5 2 2
lim b n = ∞ s , i astfel lim a n = −∞.
n→∞ n→∞
n
1 1
Pentru k = 3 avem x 1 = 1, x 2 = − s , i b n = c 1 + c 2 − , ∀ n ≥ 0.
3 3
n

3 ln 2 1
Din b 0 = 0 s , i b 1 = ln 2 obt , inem c˘a b n = (1 − − , ∀ n ≥ 0, deci
4 3
3 ln 2 √
4
lim b n = s , i lim a n = − 8.
n→∞ 4 n→∞
b n−1 b 1 ln 2
Pentru k = 4 avem b n = , ∀ n ≥ 2, deci b n = = , ∀ n ≥ 1, prin
2 2 n−1 2 n−1
urmare lim b n = 0 s , i lim a n = −1.
n→∞ n→∞