Page 102 - RMGO 2

102 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior
√
Consider˘am funct , ia f : R → R, f(x) = 3 10x + 12 + (a + 1)x. f este strict

y
cresc˘atoare, deci injectiv˘a, iar relat , ia (3) se scrie f(x) = f , deci rezult˘a c˘a
a + 1
y √ √
x = . Atunci din (2) se obt , ine: 3 10x + 12+ax = (a+1)x ⇔ 3 10x + 12 = x
a + 1
3
3
2
⇔ x − 10x − 12 = 0 ⇔ x + 8 − 10x − 20 = 0 ⇔ (x + 2)(x − 2x − 6) = 0 ⇔
√ √
x ∈ −2, 1 − 7, 1 + 7 .
MGO 30. Fie mult ,imea Q[i] = {z ∈ C | Re z, Im z ∈ Q}. Determinat ,i numerele
∗
n
z ∈ Q[i] pentru care exist˘a n ∈ N astfel ˆıncˆat z = 1.
* * *
∗
n
Solut ,ie. Fie n ∈ N . Ar˘at˘am c˘a dac˘a z ∈ {±1, ±i}, z ∈ Q[i], atunci z ∈ {±1, ±i}.
Not˘am afirmat , ia cu P(n) s , i ˆıi demonstr˘am valabilitatea prin induct , ie dup˘a n.
P(1) s , i P(2) sunt, evident, adev˘arate. Presupunem adev˘arat˘a P(k) pentru orice
k ≤ n − 1 s , i demonstr˘am P(n), n ≥ 3.
∗
Pentru n par, n = 2m, m ∈ N , din z 2m ∈ {±1, ±i}, z ∈ Q[i] deducem c˘a
2 m
2
2
(z ) ∈ {±1, ±i}, z ∈ Q[i], deci conform P(m) avem z ∈ {±1, ±i}, de unde
rezult˘a c˘a z ∈ {±1, ±i}, conform P(2).
n
Pentru n impar, fie z = x + yi, x, y ∈ Q a.ˆı. z ∈ {±1, ±i}. Analiz˘am doar
2
2
n
cazul z = 1, celelalte trei cazuri fiind similare. Evident, |z| = 1, deci x + y = 1.
Pentru a demonstra c˘a z ∈ {±1, ±i}, este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a x = 0 sau
a b
y = 0. Presupunem prin absurd c˘a x s , i y sunt nenule. Fie x = s , i y = ,
c c
2
∗
2
2
a, b, c ∈ Z . Deoarece a + b = c , deducem c˘a putem presupune c˘a ambele fract , ii
sunt ireductibile iar numerele a s , i b sunt diferite de ±1 s , i prime ˆıntre ele. Ecuat , ia
n
n
n
n
z = 1 devine (a+bi) = c , deci Im (a+bi) = 0. Aplicˆand formula binomului lui
n−1 n−2 2 n−2 n−1 n
3 n−3 3
1 n−1
Newton obt , inem C a b−C a b +. . .−(−1) 2 C n a b +(−1) 2 b = 0,
n
n
de unde rezult˘a c˘a orice divizor prim al lui a ˆıl divide s , i pe b, contradict , ie cu
presupunerea c˘a a s , i b sunt prime ˆıntre ele. Demonstrat , ia propozit , iei P(n) este
4
4
complet˘a. Cum (±1) = (±i) = 1, rezult˘a c˘a ±1, ±i sunt singurele numere din
Q[i] care verific˘a proprietatea din enunt , .
Clasa a XI-a
MGO 31. Fie permutarea σ ∈ S 2017 cu proprietatea c˘a σ(i) = i + 2 pentru orice
5
i ∈ {1, 2, . . . , 2015}. Ar˘atat ,i c˘a exist˘a x ∈ S 2017 astfel ˆıncˆat x = σ.
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti