Page 106 - RMGO 2

106 Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior

Z b 1
b) I 2 = dx.
a (x − a) 2n − (x − b) 2n

b (x − a)
Z n
c) I 3 = n n dx.
a (x − a) + (x − b)
Daniel Jinga, Pites , ti

Solut ,ie. Cu schimbarea de variabil˘a x = a + b − t, cele trei integrale devin:

Z b 1 Z b 1
a) I 1 = 2n+1 dt = 2n+1 dt =
a (b − t) 2n+1 + (a − t) a −(t − b) 2n+1 − (t − a)
−I 1 , deci 2I 1 = 0 s , i astfel I 1 = 0;

b 1
Z
b) I 2 = 2n dt = −I 2 , deci I 2 = 0;
a (b − t) 2n − (a − t)
b (b − t) n b (−1) (t − b) n
n
Z Z
c) I 3 = n n dt = n n n n dt =
a (b − t) + (a − t) a (−1) (t − b) + (−1) (t − a)
b
Z b n Z n
(t − b) (t − a)
dt = 1 − dt = b − a − I 3 , deci
n
n
(t − b) + (t − a) n (t − b) + (t − a) n
a a
b − a
2I 3 = b − a s , i astfel I 3 = .
2
4
3
MGO 38. Se consider˘a funct ,iile polinomiale f, g : R → R , f(x) = 2x − 3x +
2
2
3
4
10x − 2x + 2 s , i g(x) = x + 3x − 3x + 10x − 2. Fie h : R → R o funct ,ie
polinomial˘a de gradul 4. S˘a se arate c˘a funct ,ia h verific˘a inegalitatea dubl˘a
g(x) ≤ h (x) ≤ f (x), ∀ x ∈ R, dac˘a s , i numai dac˘a exist˘a λ ∈ [0, 1] astfel ˆıncˆat
h(x) = λf (x) + (1 − λ) g (x), ∀ x ∈ R.
George Mihai, Slatina
2
2
2
2
Solut ,ie. Avem f(x) − g(x) = (x − 3x + 2) = (x − 1) (x − 2) . Fie funct , ia
polinomial˘a u(x) = h(x) − g(x). Inegalitatea g(x) ≤ h(x) ≤ f(x), ∀ x ∈ R, (1),
este echivalent˘a cu 0 ≤ h(x) − g(x) ≤ f(x) − g(x), ∀ x ∈ R, adic˘a cu inegalitatea
2
2
0 ≤ u(x) ≤ (x − 1) (x − 2) , ∀ x ∈ R, (2).
Dac˘a h verific˘a (1), atunci luˆand x = 1 ˆın (2) rezult˘a c˘a u(1) = 0, deci
ˆ
u(x) se divide cu x − 1. Fie u(x) = (x − 1)v(x). Inlocuind ˆın (2) rezult˘a c˘a
2
0 ≤ |v(x)| ≤ |x − 1|(x − 2) , ∀ x ∈ R \ {1}. Luˆand acum x → 1 rezult˘a c˘a v(1) = 0,
2
2
prin urmare u(x) se divide cu (x−1) . Analog se obt , ine c˘a u(x) se divide cu (x−2) .
2
2
Cum grad u(x) ≤ 4, deducem c˘a u(x) = λ(x − 1) (x − 2) , ∀ x ∈ R, (3), cu
ˆ
λ ∈ R. Inlocuind din nou ˆın (2) rezult˘a c˘a λ ∈ [0, 1]. Evident, (3) este echivalent˘a
cu h(x) − g(x) = λ(f(x) − g(x)), adic˘a cu h(x) = λf(x) + (1 − λ)g(x), ∀ x ∈ R.
Reciproc, dac˘a h are aceast˘a ultim˘a form˘a, cu λ ∈ [0, 1], atunci u are forma
(3), deci verific˘a (2) s , i astfel h verific˘a (1).