Page 109 - RMGO 2

Probleme propuse 109

Clasa a VI-a

MGO 46. Calculat , i suma ultimelor 503 cifre ale num˘arului N = 1·2·3·. . .·2018.
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

MGO 47. Fie ABC un triunghi cu AB 6= AC. Determinat , i pozit , ia punctului P
|AB − AC|
situat pe bisectoarea unghiului BAC pentru care PG = , unde G este
3
centrul de greutate al triunghiului BCP.
Florea Badea, Scornices , ti s , i Costel Anghel, Slatina

MGO 48. Ar˘atat , i c˘a oricare ar fi numerele naturale n, a, b, r cu 0 ≤ r ≤ 3 s , i
a ≥ b ≥ 1, num˘arul N = n 4a+r − n 4b+r este divizibil cu 30.

Marian Haiducu, Pites , ti
MGO 49. Determinat , i numerele naturale a s , i b, s , tiind c˘a cel mai mare divizor
comun al lor este 1005, iar suma p˘atratelor lor este egal˘a cu 10100250.

Marin Chirciu, Pites , ti

MGO 50. Fie ABC un triunghi, D un punct pe dreapta BC diferit de B s , i de C,
M un punct pe segmentul (AD), iar E s , i F picioarele perpendicularelor duse din
D pe dreptele MB, respectiv MC. S , tiind c˘a [DE] ≡ [DF] s , i EFkBC, ar˘at˘at , i c˘a:
a) E ∈ (MB) s , i F ∈ (MC), iar D este mijlocul lui [BC].

b) Triunghiul ABC este isoscel, [AB] ≡ [AC].
Florin St˘anescu, G˘aes , ti

Clasa a VII-a

r
25n − 1
∗
MGO 51. Determinat , i numerele rat , ionale de forma A = , cu n ∈ N .
n + 11
Marin Chirciu, Pites , ti
◦
ˆ
MGO 52. In exteriorul triunghiului ABC avˆand m (^A) = 30 se construiesc
triunghiurile echilaterale ABD s , i ACE. Fie K simetricul punctului A fat , ˘a de
mijlocul segmentului [DE]. Ar˘atat , i c˘a A BKC = A ABD + A ACE − 3A ABC .
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava