Page 112 - RMGO 2

112 Probleme propuse

Clasa a X-a

MGO 66. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale inecuat , ia

x
x
x
5 + 9 + 10 + 12 x
> 1.
x
x
x
x
3 + 4 + 6 + 8 + 15 x
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
1 1 1
MGO 67. Fie a, b, c > 0 astfel ˆıncˆat a + b + c = + + . Demonstrat , i c˘a
a b c
√ √ √
p
2
2
2
a + b + c + 2 2 − 3 ≥ 2 2abc.
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin
MGO 68. Determinat , i numerele reale pozitive k pentru care inegalitatea
√ √ √ √
ka + 1 + kb + 1 + kc + 1 ≥ 3 k + 1

are loc pentru orice a, b, c ∈ [0, ∞) astfel ˆıncˆat a + b + c = ab + bc + ca > 0.

Leonard Mihai Giugiuc, Romˆania, Michael Rozenberg, Israel
s , i Valmir Krasniqi, Kosovo

MGO 69. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia

2
2
2
2
sin x cos x = cos x sin x .
Daniel Jinga, Pites , ti
3
MGO 70. Rezolvat , i ˆın C sistemul

 2
 a = b(2b − c)
2
b = c(2c − a) .
c = a(2a − b)
 2
Florin St˘anescu, G˘aes , ti