Page 113 - RMGO 2

Probleme propuse 113

Clasa a XI-a

1 π
MGO 71. Se consider˘a un triunghi ABC astfel ˆıncˆat arccos √ ≤ A, B, C ≤ .
3 2
1 1 1 12
Demonstrat , i c˘a + + ≥ .
2
2
2
1 + cos A 1 + cos B 1 + cos C 5
Cˆand are loc egalitatea?
Leonard Mihai Giugiuc, Romˆania s , i Michael Rozenberg, Israel
∗ 2
MGO 72. Fie matricea A ∈ M n (C), n ≥ 2, astfel ˆıncˆat (A ) 6= O n , unde A ∗
k
reprezint˘a matricea adjunct˘a a lui A. S˘a se arate c˘a rang (A ) = rang (A), pentru
∗
orice k ∈ N .
Marin Ionescu, Pites , ti
MGO 73. Fie a, b ∈ R, a < b s , i f : [a, b] → [a, b] o funct , ie derivabil˘a cu f(a) = b s , i
0
0
f(b) = a. Ar˘atat , i c˘a exist˘a c 1 , c 2 ∈ (a, b), c 1 6= c 2 , astfel ˆıncˆat f (c 1 )+f (c 2 ) = −2.
Daniel Jinga, Pites , ti

MGO 74. Fie (x n ) n≥1 un s , ir cresc˘ator astfel ˆıncˆat x 2 = n pentru orice n ≥ 1.
n
x n
Ar˘atat , i c˘a √ tinde c˘atre 1.
n
Cristinel Mortici, Tˆargovis , te
MGO 75. Ar˘atat , i c˘a dac˘a matricele A, B ∈ M 2 (C) verific˘a relat , iile tr (AB) 6= 0
2
2
2
s , i AB A + BA B = 2(AB) , atunci AB = BA.
R˘amˆane concluzia adev˘arat˘a dac˘a se renunt , ˘a la ipoteza tr (AB) 6= 0?
Florin St˘anescu, G˘aes , ti

Clasa a XII-a

MGO 76. Determinat , i corpurile finite K cu proprietatea c˘a exist˘a x, y ∈ K astfel
ˆıncˆat (x + y) −1 = x −1 + y −1 .

Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

MGO 77. Determinat , i valoarea minim˘a k ∈ N \ {2018} cu proprietatea c˘a exist˘a
un polinom f ∈ Z[X] s , i nis , te numere ˆıntregi m 1 , m 2 , . . . , m 2018 distincte dou˘a cˆate
dou˘a astfel ˆıncˆat f(m i ) = 2018 pentru orice i ∈ {1, 2, . . . , 2017} s , i f(m 2018 ) = k.
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti