Page 110 - RMGO 2

110 Probleme propuse

MGO 53. Fie ABCD un patrulater convex, a, b, c, d lungimile laturilor s , i d 1 , d 2
lungimile diagonalelor sale. Ar˘atat , i c˘a
2
a + b + c + d d + d 2 a + b + c + d
1
2
< < .
4 d 1 + d 2 2
Marian Haiducu, Pites , ti
MGO 54. Fie ABC un triunghi circumscris unui cerc C de centru I. Cercul C
este tangent laturilor BC, CA, AB ˆın punctele D, E, respectiv F s , i intersecteaz˘a
segmentele [AI], [BI], [CI] ˆın punctele M, N, respectiv P. Ar˘at˘at , i c˘a triunghiurile
DEF s , i MNP au acelas , i centru de greutate dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul ABC
este echilateral.
Marin Ionescu, Pites , ti
n(n + 1)
MGO 55. Fie numerele reale a 1 , a 2 , . . . , a n avˆand suma egal˘a cu . Dac˘a
2
p 2 2 p 2 2 p 2 2
(a 1 + 1) + (a 2 + 2) + (a 2 + 2) + (a 3 + 3) +. . .+ (a n + n) + (a 1 + 1) ≤
√ 3 n + 1
n(n + 1) 2, s˘a se arate c˘a a 1 − 1 + 2 a 2 − + . . . + n a n − = 0.
2 2
Sorin Ulmeanu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

Clasa a VIII-a

MGO 56. Fie V ABCD s , i V AEF dou˘a piramide regulate de vˆarf V astfel ˆıncˆat
ˆın˘alt , imile lor sunt congruente s , i EFkBD. Calculat , i raportul dintre volumele celor
dou˘a piramide.
Florea Badea, Scornices , ti s , i Costel Anghel, Slatina
MGO 57. Reprezentat , i grafic, ˆıntr-un sistem de coordonate xOy, solut , iile ecuat , iei
3
3
3
x + y + (x + y) + 50(x + y) + 15xy = 500, x, y ∈ R.
Marin Chirciu, Pites , ti
0
0
0
0
0
MGO 58. Se consider˘a cubul ABCDA B C D , E mijlocul segmentului [AA ] s , i
0
0
F ∈ C D astfel ˆıncˆat EB ⊥ DF. Calculat , i cosinusul unghiului dintre planele
(EBD) s , i (FBD).
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
1 1 1
MGO 59. Fie n ∈ N, n ≥ 2 s , i x 1 , x 2 , . . . , x n > 0 astfelˆıncˆat + +. . .+ = n.
x 1 x 2 x n
2
2
Ar˘at˘at , i c˘a x x 2 + x x 3 + . . . + x 2 x 2
n−1 n + x x 1 ≥ 2(x 1 + x 2 + . . . + x n ) − n.
1 2 n
Marin Ionescu, Pites , ti
2 2
MGO 60. Aflat , i a, b, c, d > 0, s , tiind c˘a a+b+c+d = 2 s , i + +
2a + b + c 2b + c + d
2 2 1 2 1
+ = + + .
2c + d + a 2d + a + b (a + b)(c + d) (a + c)(b + d) (a + d)(b + c)
Florin St˘anescu, G˘aes , ti