Page 111 - RMGO 2

Probleme propuse 111

Clasa a IX-a

MGO 61. Se consider˘a triunghiul ABC s , i punctele M ∈ (AB), N ∈ (AC),
0
0
0
P ∈ (BC) astfelˆıncˆat AM = CP, AN = BP, BM = CN. Fie A , B , C mijloacele
0
0
0
segmentelor [BC], [AC], respectiv [AB], iar M , N , P mijloacele segmentelor [NP],
0
0
0
0
0
0
[MP], respectiv [MN]. Ar˘atat , i c˘a A P · B N · C M = h a h b h c , unde h a , h b , h c
8
reprezint˘a lungimile ˆın˘alt , imilor triunghiului ABC.
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
MGO 62. Fie x, y, z ∈ [0, 2] astfel ˆıncˆat xy + yz + zx + xyz = 4. Determinat , i
4 − xy 4 − yz 4 − zx
valorile extreme ale expresiei + + .
4 + xy 4 + yz 4 + zx
Leonard Mihai Giugiuc, Romˆania s , i Michael Rozenberg, Israel
0
0
0
MGO 63. Fie ABC s , i A B C dou˘a triunghiuri asemenea astfel ˆıncˆat vectorii
−−→ −−→ −−→
~
0
0
0
AA , BB s , i CC nu sunt tot , i coliniari s , i au suma 0. S˘a se arate c˘a cercurile
ˆınscrise ˆın cele dou˘a triunghiuri au acelas , i centru dac˘a s , i numai dac˘a triunghiurile
sunt echilaterale.
Marin Ionescu, Pites , ti
MGO 64. S˘a se determine numerele reale x, y, z, t, u, v cu proprietatea c˘a

11 2 2 2 11 2 2
2
2
2
x + y + z + t + u + v = x + y + z + y + z + t + z + t +
12 12

11 2 2 2 11 2 2 2 11 2 2 2 11
2
+u + t + u + v + u + v + x + v + x + y + .
12 12 12 12
Daniel Jinga s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
MGO 65. Determinat , i funct , iile f : N → N cu proprietatea c˘a

2
2
f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy(2x + 3xy + 2y ), ∀x, y ∈ N.
Sorin Ulmeanu, Pites , ti