Page 95 - RMGO 2

Rezolvarea problemelor din num˘arul anterior 95

Solut ,ie. a) Fie P ∈ [MN] a.ˆı. m(^MCP) = m(^MCB), deci s , i m(^NCP) =
m(^NCD). Fie MP 1 ⊥ CP s , i NP 2 ⊥ CP, P 1 , P 2 ∈ CP. Avem 4CP 1 M ≡
4CBM s , i 4CP 2 N ≡ 4CDN (cazul I.U.), deci CP 1 = CB = CD = CP 2 , de
unde rezult˘a c˘a P 1 = P 2 = P. Folosind congruent , ele anterioare, deducem c˘a
MN = MP + NP = MP 1 + NP 2 = MB + ND.

b) Notˆand AB = l, MB = x s , i ND = y, conform punctului a) avem MN =
2
2
2
x+y. Aplicˆand Teorema lui Pitagora ˆın 4MAN avem (x+y) = (l−x) +(l−y) ,
2 ˆ
2
2
de unde lx + ly + xy = l , adic˘a (l + x)(l + y) = 2l . Imp˘art , ind prin l obt , inem
egalitatea din enunt , .
MGO 13. S˘a se rezolve ˆın mult ,imea numerelor ˆıntregi ecuat ,ia
2
2
3x − 22xy + 24y = 17.
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava
2
2
2
2
Solut ,ie. Avem 3x − 22xy + 24y = 3x − 18xy − 4xy + 24y = 3x(x − 6y) −
4y(x − 6y) = (x − 6y)(3x − 4y), deci ecuat , ia devine (x − 6y)(3x − 4y) = 17.
Obt , inem (x−6y, 3x−4y) ∈ {(1, 17), (17, 1), (−1, −17), (−17, −1)}, de unde (x, y) ∈
{(7, 1), (−7, −1)}.
MGO 14. S˘a se determine num˘arul elementelor mult ,imii
2

A = n − n + 4 n ∈ N, n ≤ 2017 .
2
n + 1
Valentin R˘adulescu, Scornices , ti
Solut ,ie. Determin˘am perechile de numere naturale (m, n), 0 ≤ m < n ≤ 2017,
2
2
m − m + 4 n − n + 4 m − 3
pentru care = . Egalitatea devine, succesiv: =
2
2
2
m + 1 n + 1 m + 1
n − 3
2
2
2
2
; mn + m − 3n = m n + n − 3m ; (n − m)(mn − 3m − 3n − 1) = 0;
2
n + 1
(n − m)[(m − 3)(n − 3) − 10] = 0, cu solut , iile (m, n) ∈ {(4, 13), (5, 8)}. Deci
card (A) = 2018 − 2 = 2016.
MGO 15. Fie M un punct ˆın interiorul triunghiului echilateral ABC. Dac˘a P,
Q s , i R sunt picioarele perpendicularelor duse din M pe [AB], [BC] respectiv [AC],
ar˘atat ,i c˘a:
2
2
2
2
2
2
a) AP + BQ + CR = BP + CQ + AR .
b) AP · BQ + AP · CR + BQ · CR = BP · CQ + BP · AR + CQ · AR.
* * *
2
2
2
2
Solut ,ie. a) Aplicˆand Teorema lui Pitagora avem AP + BQ + CR = MA +
2
2
2
2
2
2
2
2
MB + MC − MP − MQ − MR = BP + CQ + AR .
2
2
2
2
2
2
b) Folosind punctul a) obt , inem 0 = AP − BP + BQ − CQ + CR − AR =
AB(AP − BP + BQ − CQ + CR − AR), deci AP + BQ + CR = BP + CQ + AR.
Prin ridicare la p˘atrat s , i utilizˆand punctul a), se obt , ine egalitatea din enunt , .