Page 90 - RMGO 2

˘
˘
90 Costel BALCAU
√
n
∗
c) Demonstrat , i c˘a 6A −1 6= 3 · A , pentru orice n ∈ N .
2. Se consider˘a a, b ∈ R s , i polinomul f = aX 40 + bX 20 + 10.
a) Calculat , i restul ˆımp˘art , irii lui f la (X − 1)(X − 2), s , tiind c˘a restul
ˆımp˘art , irii lui f la X − 1 este egal cu 2, iar restul ˆımp˘art , irii lui f la
X − 2 este egal cu 3.
2
b) Determinat , i a s , i b, s , tiind c˘a f este divizibil cu X − 2X + 1.
c) Pentru valorile lui a s , i b determinate la punctul b), calculat , i suma
coeficient , ilor polinomului g, unde g este cˆatul ˆımp˘art , irii polinomului f
2
la X − 2X + 1.

SUBIECTUL al III-lea
√
1. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = 3 x − sin x.
a) Determinat , i punctele de intersect , ie a graficului funct , iei f cu axele de
coordonate.
b) Demonstrat , i c˘a exist˘a o infinitate de puncte situate pe graficul funct , iei
f ˆın care tangenta la graficul funct , iei f este paralel˘a cu axa Ox.
c) Demonstrat , i c˘a funct , ia f este inversabil˘a s , i determinat , i domeniile de
derivabilitate ale funct , iilor f s , i f −1 .

2. Se consider˘a num˘arul real a, a > 0 s , i s , irurile (I n ) n∈N s , i (J n ) n∈N , definite
3
Z
1
n
prin I n = n dx, J n = a I n , oricare ar fi n ∈ N.
2
(x + 16)
0
a) Calculat , i I 0 , I 1 s , i I 2 .
3
b) Demonstrat , i c˘a 32nI n+1 = (2n − 1)I n + , oricare ar fi n ∈ N.
5 2n
c) Studiat , i convergent , a s , irului (J n ) n∈N , ˆın funct , ie de a.