Page 88 - RMGO 2

˘
˘
88 Costel BALCAU
√ √
x
x
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia (2 + 3) + (2 − 3) = 14.
4. Calculat , i probabilitatea ca, alegˆand la ˆıntˆamplare un num˘ar din mult , imea
numerelor naturale de trei cifre, acesta s˘a fie divizibil cu 18, dar s˘a nu fie
divizibil cu 12.
−−→ −→ −−→ −→

5. Fie hexagonul regulat ABCDEF. Calculat , i AB + AC + AD + AE + AF ,
−→
s , tiind c˘a AD = 6.
6. Se consider˘a triunghiul ABC, cu AB = 26, BC = 28 s , i CA = 30. Calculat , i
lungimile ˆın˘alt , imii, medianei s , i bisectoarei duse din vˆarful A.

SUBIECTUL al II-lea

a b
1. Se consider˘a mult , imea M = a, b ∈ Z 4 ⊆ M 2 (Z 4 ).
1 2
b b
a) Calculat , i probabilitatea ca, alegˆand laˆıntˆamplare o matrice din mult , imea
M, aceasta s˘a fie inversabil˘a.
2
2
b) Demonstrat , i c˘a dac˘a X ∈ M astfel ˆıncˆat X ∈ M, atunci X = X.

3 2
b b
b b 3 2
c) Cˆate solut , ii X ∈ M 2 (Z 4 ) are ecuat , ia · X = ?
1 2 1 2
b b b b
2. Pe mult , imea numerelor reale se consider˘a legea de compozit , ie
x ◦ y = 2ax + 2ay − axy − 1, ∀ x, y ∈ R, unde a ∈ R.
a) Determinat , i a ∈ R pentru care legea ,,◦” are element neutru.
3
b) Pentru a = , demonstrat , i c˘a (R \ {2}, ◦) este un grup abelian izomorf
4
∗
cu grupul (R , ·).
3
c) Pentru a = , calculat , i 4 ◦ 4 ◦ . . . ◦ 4.
4 | {z }
de 2018 ori 4

SUBIECTUL al III-lea

x ln |x|, dac˘a x 6= 0
1. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f(x) = .
0, dac˘a x = 0
a) Determinat , i domeniul de derivabilitate al funct , iei f.
b) Determinat , i punctele de extrem local s , i punctele de inflexiune ale
funct , iei f.
c) Determinat , i m ∈ R pentru care ecuat , ia f(x) = m are exact dou˘a solut , ii
reale.