Page 84 - RMGO 2

84 Mihai Florea DUMITRESCU

n
∗
2. Se consider˘a funct , ia f n : R → R, f n (x) = x (x + 1) , n ∈ N .
R 1 5
(a) Ar˘atat , i c˘a f 1 (x) dx = .
0 6
R 2 1
(b) Calculat , i dx.
1 f 2 (x)
(c) Aflat , i volumul corpului obt , inut prin rotat , ia ˆın jurul axei Ox a graficului
funct , iei g : [0, 1] → R, g (x) = f n (x).

Testul 3

SUBIECTUL I

4
2
1. S˘a se determine numerele reale a s , i b, s , tiind c˘a a + bi = .
1 − i
2
2. Aflat , i m ∈ R s , tiind c˘a graficul funct , iei f : R → R, f (x) = x − mx + m + 1
este tangent dreptei y = x.
x
x
x
3. S˘a se rezolve ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia 2 + 4 − 2 · 8 = 0 .
4. Calculat , i probabilitatea ca, alegˆand la ˆıntˆamplare un num˘ar din mult , imea
{50, 51, 52, . . . , 100}, acesta s˘a aib˘a exact trei divizori naturali.
ˆ
5. In sistemul cartezian xOy se consider˘a punctele A(3, 1) s , i B(−5, −3). Calculat , i
ecuat , ia mediatoarei segmentului [AB].

6. Rezolvat , i ecuat , ia sin (π + x) + cos (π − x) = 1, x ∈ [0, 2π].

SUBIECTUL al II-lea

ˆ
1. In sistemul cartezian xOy se consider˘a punctele A(1, m), B (−1, m − 1),
C (m − 2, 0), unde m ∈ R.

(a) Determinat , i m ∈ R, pentru care punctele A, B, C sunt coliniare.
(b) Pentru m = 1, scriet , i ecuat , ia dreptei AB.
(c) Determinat , i m ∈ R, pentru care aria triunghiului ABC este egal˘a cu 3.

2. Consider˘am inelul (Z 5 , +, ·).

(a) Calculat , i suma p˘atratelor elementelor inversabile ale inelului.

3x + 3y = 1
b
b
b
(b) Rezolvat , i sistemul , x, y ∈ Z 5 .
x + 2y = 4
b
b
(c) Aflat , i x 2019 + y 2019 , unde (x 0 , y 0 ) verific˘a sistemul de la punctul b).
0
0