Page 82 - RMGO 2

82 Mihai Florea DUMITRESCU

3 2
2. Se consider˘a polinomul f = X −aX +11X −a, unde a ∈ R s , i fie x 1 , x 2 , x 3
r˘ad˘acinile sale.

(a) Determinat , i num˘arul real a, pentru care polinomul f se divide cu
polinomul X − 1.
(b) Determinat , i a ∈ R, pentru care r˘ad˘acinile polinomului f verific˘a egali-
tatea x 1 + x 2 = x 3 .
(c) Aflat , i numerele reale a astfel ˆıncˆat are loc egalitatea
2
2
2
2
2
2
x + x + x + 3 = (x 1 x 2 ) + (x 1 x 3 ) + (x 2 x 3 ) + x 1 + x 2 + x 3 .
3
2
1
SUBIECTUL al III-lea
2

1. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f (x) = x + ln x + 1 .
(x + 1) 2
0
(a) Ar˘atat , i c˘a f (x) = , pentru orice x ∈ R.
2
x + 1
(b) Calculat , i lim f (x).
x→−∞
(c) Ar˘atat , i c˘a funct , ia f are dou˘a puncte de inflexiune.
1
2. Se consider˘a funct , ia f : R → R, f (x) = .
x
e + 1
R 1 x
(a) Calculat , i e · f (x) dx.
0
R 1
(b) Calculat , i f (x) dx.
0
R 1 3
(c) Ar˘atat , i c˘a f (x) dx ≤ ln .
0
2
Testul 2

SUBIECTUL I

1. Suma primilor cinci termeni ai unei progresii aritmetice este egal˘a cu 15.
Calculat , i termenul al treilea.
2
2
2. Fie funct , iile f, g : R → R, f(x) = x − x − 1 s , i g(x) = −x + 4x − 4. Aflat , i
ordonatele punctelor de intersect , ie ale graficelor funct , iilor f s , i g.
3
4
3. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia log x − log (x ) = 0.
3
3
4. Calculat , i probabilitatea ca, alegˆand un num˘ar n din mult , imea {0, 1, 2, . . . , 9},
3
2
acesta s˘a fie solut , ie a ecuat , iei n − 6n + 11n − 6 = 0.