Page 83 - RMGO 2

Teste pentru examenul de Bacalaureat, specializarea s , tiint , e ale naturii 83

−−→ −−→
5. Se consider˘a triunghiul ABC s , i punctul M astfel ˆıncˆat AB = BM. S , tiind
−→ −−→

c˘a AC + MC = 4, aflat , i lungimea vectorului BC.
−−→
2
6. Determinat , i numerele reale x ∈ [0, π], pentru care cos 2x = 1 − sin x.

SUBIECTUL al II-lea

 
x 1 x
1. Se consider˘a matricea A(x) =  1 x 1  , unde x ∈ R.
1 2 −2

(a) Aflat , i numerele reale a pentru care det A(a) = 0.
(b) Determinat , i numerele reale x astfel ˆıncˆat produsul minorilor cores-
punz˘atori elementelor de pe diagonala principal˘a a matricei A(x) s˘a fie
egal cu produsul minorilor corespunz˘atori elementelor de pe diagonala
secundar˘a a acestei matrice.
1
t
∗
(c) Rezolvat¸i ˆın M 3 (R) ecuat , ia A −1 (0) · X − A (2) = A (0), unde matri-
3
∗
t
cele B −1 , B s , i B reprezint˘a inversa, transpusa s , i respectiv adjuncta
matricei B.
2. Pe mult , imea numerelor reale se defines , te legea de compozit , ie asociativ˘a
1
x ∗ y = xy − (x + y) + 8.
4
1
(a) Demonstrat , i c˘a x ∗ y = (x − 4)(y − 4) + 4, pentru orice numere reale
4
x s , i y.
(b) Ar˘atat , i c˘a mult , imea M = R − {4} este parte stabil˘a a lui R ˆın raport
cu legea de compozit , ie ,,∗”.
(c) Rezolvat , i ˆın mult , imea M = R − {4} ecuat , ia x ∗ x ∗ . . . ∗ x = x.
| {z }
de 2019 ori x

SUBIECTUL al III-lea

e x
1. Se consider˘a funct , ia f : (0; +∞) → R, f (x) = ln .
x
e − 1
(a) Determinat , i ecuat , ia asimptotei verticale la graficul funct , iei f.
f (x) − f (1) 1
(b) Ar˘atat , i c˘a lim = − .
3
x→1 x − 1 3 (e − 1)
(c) Ar˘atat , i c˘a funct , ia f este convex˘a.