Page 42 - RMGO 2

˘
˘ ˘
ˆ
42 Leonard GIUGIUC, Cezar Alexandru TRANCANAU, Alexandru PIRVUCEANU
Aceste rezultate nu vor fi demonstrate aici. De remarcat c˘a ˆın cazul ˆın care
a, b s , i c reprezint˘a lungimile laturilor unui triunghi (eventual degenerat), atunci
Teoremele 3 s , i 4 devin duale.

Aplicat , ia 1 (AOPS). Fie a, b s , i c lungimile laturilor unui triunghi (eventual
degenerat). Atunci are loc urm˘atoarea inegalitate:

b + c c + a a + b a b c
+ + + 3 ≥ 6 + + . (2)
a b c b + c c + a a + b

Demonstrat¸ie. S˘a remarc˘am c˘a dac˘a fix˘am a+b+c s , i ab+bc+ca, atunci membrul
stˆang este descresc˘ator ˆın funct , ie de variabila abc ˆın timp ce membrul drept este
cresc˘ator ˆın funct , ie de abc. Deci vom aplica duala Teoremei 4 ˆıntr-o form˘a mai
elegant˘a. Aceasta ne spune urm˘atoarele:
Este suficient s˘a verific˘am c˘a dac˘a b = c = 1 s , i a ∈ [1, 2] atunci (2) este
ˆındeplinit˘a, s , i c˘a dac˘a a, b > 0 s , i c = a + b atunci (2) este iar˘as , i ˆındeplinit˘a.
2
ˆ In primul caz, obt , inem inegalitatea (2 − a) (a − 1) ≥ 0 care este evident
adev˘arat˘a pentru orice a ∈ [1, 2].

ˆ In cel de-al doilea caz obt , inem inegalitatea

a b a b
+ ≥ 3 + ,
b a a + 2b 2a + b
care se verific˘a us , or c˘a este adev˘arat˘a.
S˘a remarc˘am cazurile de egalitate. Acestea sunt triunghiul echilateral (a, a, a)
s , i triunghiurile isoscele degenerate (a, a, 2a).

Aplicat , ia 2 (Ji Chen, Crux Mathematicorum, 1994). Fie a, b s , i c lungimile
laturilor unui triunghi (eventual degenerat), cu semiperimetrul p. Atunci are loc
urm˘atoarea inegalitate:

1 1 1 9
[(p − a) (p − b) + (p − b) (p − c) + (p − c) (p − a)] + + ≥ . (3)
a 2 b 2 c 2 4
Demonstrat¸ie. Fie a + b + c = s, ab + bc + ca = q cu s s , i q fixate, iar abc = x cu x
variabil. Avem:
2
1 1 1 q − 2sx
+ + = .
a 2 b 2 c 2 x 2
Dar
2 2
d q − 2sx q − sx
= −2 · .
dx x 2 x 3
2
Cum q ≥ 3sx > sx, deducem c˘a membrul stˆang este descresc˘ator ˆın variabila abc.
Deci vom proceda analog ca la Aplicat , ia 1.