Page 41 - RMGO 2

Metode moderne de demonstrare a unor

inegalit˘ati ˆın triunghi
,

˘ ˘
˘
1
Leonard GIUGIUC , Cezar Alexandru TRANCANAU 2
ˆ
s , i Alexandru PIRVUCEANU 3

Vom reaminti cˆateva rezultate esent , iale, rezultate descoperite independent de
c˘atre Leonard Giugiuc si de c˘atre profesorul Vo Quoc Ba Can din Vietnam.
Teorema 1. Fie s s , i t numere reale nenegative fixate. Consider˘am numerele reale
a, b s , i c astfel ˆıncˆat
2
a + b + c = 3s s , i ab + bc + ca = 3 s − t 2 . (1)
2
Atunci valoarea minim˘a a produsului abc este egal˘a cu (s + t) (s − 2t). Mai
2
mult, abc = (s + t) (s − 2t) dac˘a s , i numai dac˘a (a, b, c) = (s + t, s + t, s − 2t) s , i
permut˘arile lor.

Teorema 2. Fie s s , i t numere reale nenegative fixate. Consider˘am numerele reale
a, b s , i c astfel ˆıncˆat au loc egalit˘at ,ile (1). Atunci valoarea maxim˘a a produsului
2 2
abc este egal˘a cu (s − t) (s + 2t). Mai mult, abc = (s − t) (s + 2t) dac˘a s , i numai
dac˘a (a, b, c) = (s − t, s − t, s + 2t) s , i permut˘arile lor.
Teorema 3. Fie s s , i t numere reale fixate, cu 0 ≤ t ≤ s. Consider˘am numerele
reale nenegative a, b s , i c astfel ˆıncˆat au loc egalit˘at ,ile (1). Atunci valoarea minim˘a
a produsului abc este egal˘a cu

 2 s
(s + t) (s − 2t) , dac˘a 0 ≤ t ≤

s 2 .
0, dac˘a ≤ t ≤ s

2
s 2
Mai mult, dac˘a 0 ≤ t ≤ , atunci abc = (s + t) (s − 2t) dac˘a s , i numai dac˘a
2
(a, b, c) = (s + t, s + t, s − 2t) s , i permut˘arile lor.
Teorema 4. Fie s s , i t numere reale fixate, cu 0 ≤ t ≤ s. Consider˘am numerele
reale nenegative a, b s , i c astfel ˆıncˆat au loc egalit˘at ,ile (1). Atunci valoarea maxim˘a
2 2
a produsului abc este egal˘a cu (s − t) (s + 2t). Mai mult, abc = (s − t) (s + 2t)
dac˘a s , i numai dac˘a (a, b, c) = (s − t, s − t, s + 2t) s , i permut˘arile lor.

1
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Traian”, Drobeta Turnu Severin, leonardgiugiuc@yahoo.com
2
Elev, Colegiul Nat , ional ,,Traian”, Drobeta Turnu Severin
3
Elev, Colegiul Nat , ional ,,Traian”, Drobeta Turnu Severin
41