Page 36 - RMGO 2

Rezolvarea unor ecuatii si sisteme de ecuatii
,
,
,
folosind monotonia, injectivitatea sau
convexitatea functiilor
,

Mihai Florea DUMITRESCU 1

Enunt , ˘am cˆateva propriet˘at , i ale funct , iilor pe care le vom utiliza ˆın rezolvarea
unor ecuat , ii s , i sisteme de ecuat , ii.

Proprietatea 1. Fie f, g : D → R, D ⊆ R funct ,ii strict monotone. Dac˘a f s , i g
sunt strict cresc˘atoare (strict descresc˘atoare), atunci f + g este strict cresc˘atoare
(strict descresc˘atoare).

Proprietatea 2. Fie f, g : D → (0, +∞) , D ⊆ R. Dac˘a f s , i g sunt strict
cresc˘atoare (strict descresc˘atoare), atunci f · g este strict cresc˘atoare (strict des-
cresc˘atoare).

Proprietatea 3. Fie f, g : R → R funct ,ii monotone.

a) Dac˘a f s , i g au aceeas , i monotonie, atunci g ◦ f este cresc˘atoare.
b) Dac˘a f s , i g au monotonii diferite, atunci g ◦ f este descresc˘atoare.

Proprietatea 4. Fie f, g : D → R, D ⊆ R. Dac˘a una din funct ,ii este strict
cresc˘atoare (strict descresc˘atoare), iar cealalt˘a este descresc˘atoare (cresc˘atoare),
atunci ecuat ,ia f (x) = g (x) are cel mult o solut ,ie pe D.
Proprietatea 5. Dac˘a f : D → R, D ⊆ R este strict monoton˘a, atunci f este
funct ,ie injectiv˘a.

Proprietatea 6. Dac˘a f : D → R, D ⊆ R este injectiv˘a s , i pentru x, y ∈ D avem
f (x) = f (y), atunci x = y.

Proprietatea 7. a) Suma a dou˘a funct ,ii convexe este o funct ,ie convex˘a.
b) Suma a dou˘a funct ,ii concave este o funct ,ie concav˘a.

Proprietatea 8. Fie f, g : D → R, D ⊆ R. Dac˘a f este o funct ,ie convex˘a s , i
g este o funct ,ie concav˘a s , i cel put ,in una dintre ele este strict˘a, atunci ecuat ,ia
f (x) = g (x) are cel mult dou˘a solut ,ii pe D.
1
Profesor, Liceul ,,S , tefan Diaconescu”, Potcoava, florin14mihai@yahoo.com

36